[논문 리뷰] An Optimal Separation of Randomized and Quantum Query Complexity

Alexander A. Sherstov, Andrey A. Storozhenko외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 24.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 决策 트리의 푸리에 계수에 대한 날카운 경계를 증명하여 랜덤화 및 양자 쿼리 복잡도 사이의 최적 분리성을 확립한다. 이를 통해 유계 오차 양자 쿼리 복잡도 $k$와 랜덤화 쿼리 복잡도 $ ilde{ Omega}(n^{1-1/(2k)})$를 갖는 부분 부울 함수를 구성할 수 있다. 이 결과는 Aaronson과 Ambainis, 그리고 Bravyi 등이 확립한 이론적 한계에 부합하여 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We prove that for every decision tree, the absolute values of the Fourier coefficients of a given order $\ell\geq1$ sum to at most $c^{\ell}\sqrt{\binom{d}{\ell}(1+\log n)^{\ell-1}},$ where $n$ is the number of variables, $d$ is the tree depth, and $c>0$ is an absolute constant. This bound is essentially tight and settles a conjecture due to Tal (arxiv 2019; FOCS 2020). The bounds prior to our work degraded rapidly with $\ell,$ becoming trivial already at $\ell=\sqrt{d}.$ As an application, we obtain, for every integer $k\geq1,$ a partial Boolean function on $n$ bits that has bounded-error quantum query complexity at most $k$ and randomized query complexity $ ildeΩ(n^{1-\frac{1}{2k}}).$ This separation of bounded-error quantum versus randomized query complexity is best possible, by the results of Aaronson and Ambainis (STOC 2015) and Bravyi, Gosset, Grier, and Schaeffer (2021). Prior to our work, the best known separation was polynomially weaker: $O(1)$ versus $Ω(n^{2/3-ε})$ for any $ε>0$ (Tal, FOCS 2020). As another application, we obtain an essentially optimal separation of $O(\log n)$ versus $Ω(n^{1-ε})$ for bounded-error quantum versus randomized communication complexity, for any $ε>0.$ The best previous separation was polynomially weaker: $O(\log n)$ versus $Ω(n^{2/3-ε})$ (implicit in Tal, FOCS 2020).

연구 동기 및 목표

• 유계 오차 양자 및 랜덤화 쿼리 복잡도 사이의 최대 가능한 분리 정도를 이해하는 데 있어 간극을 메우기.
• Tal(2019, FOCS 2020)이 제기한 고차 푸리에 계수에 대한 결정 트리의 푸리에 가중치에 대한 추측을 해결하기.
• 최적의 양자 및 랜덤화 쿼리 복잡도 간 무게 조정을 달성하는 부분 부울 함수를 구성하기.
• 결과를 통신 복잡도로 확장하여, 양자 및 랜덤화 통신 복잡도 사이의 최적 분리 달성하기.

제안 방법

• 결정 트리의 $\ell$-차 푸리에 계수에 대한 날카운 상한을 증명: $\sum |\hat{f}(S)| \leq c^\ell \sqrt{\binom{d}{\ell} (1+\log n)^{\ell-1}}$ ($\ell \geq 1$), 여기서 $d$는 트리 깊이이고 $c$는 절대 상수.
• 이 푸리에 경계를 활용해 포렐레이션 문제 및 그 일반화, 특히 $k$-겹 포렐레이션 함수 $f_{n,k,U}$를 분석한다.
• 오차 감소 기법과 집중성 추론을 적용하여 균일 분포와 구조적 분포 하에서의 수용 확률을 결합 트리의 푸리에 편향과 연결한다.
• 다른 입력 분포 하에서 결합 트리의 기대 출력을 비교하여, 푸리에 계수 경계를 활용해 랜덤화 쿼리 복잡도에 하한을 도출한다.
• 이러한 복잡도 간격을 활용해, 양자 복잡도 $k$와 랜덤화 복잡도 $\tilde{\Omega}(n^{1-1/(2k)})$를 갖는 부분 부울 함수를 구성한다.
• 동일한 함수를 양자 간의 두 당사자 설정에 적용하여 통신 복잡도로 결과를 확장함으로써, $O(\log n)$의 양자 대비 $\Omega(n^{1-\varepsilon})$의 랜덤화 통신 복잡도를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $n$ 비트 부울 함수에 대해, 유계 오차 양자 및 랜덤화 쿼리 복잡도 사이의 최대 가능한 분리 정도는 무엇인가?
• RQ2 고차 상호작용에 대한 쿼리 복잡도에 영향을 미치는 결정 트리의 푸리에 계수를 어떻게 경계할 수 있는가?
• RQ3 다시 말해, 쿼리 모델에서 가장 큰 알려진 양자 스피드업을 달성하는 데 최적의 후보는 $k$-겹 포렐레이션 문제인가?
• RQ4 양자 및 랜덤화 쿼리 복잡도 사이의 분리는 최적의 파rameter를 갖는 통신 복잡도로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 결정 트리의 $\ell$-차 푸리에 계수에 대한 날카운 경계를 확립한다: $\sum |\hat{f}(S)| \leq c^\ell \sqrt{\binom{d}{\ell} (1+\log n)^{\ell-1}}$, 이는 Tal(2019, FOCS 2020)의 추측을 해결한다.
• 유계 오차 양자 쿼리 복잡도 $k$와 랜덤화 쿼리 복잡도 $\tilde{\Omega}(n^{1-1/(2k)})$를 갖는 부분 부울 함수를 구성하여, 로그 인자 수준까지 최적의 분리를 달성한다.
• 이 분리는 기존 Aaronson과 Ambainis(2015년 STOC) 및 Bravyi 등(2021년)의 결과에 의해 확인된 바와 같이 더 이상 큰 간격은 존재할 수 없음을 의미한다.
• 모든 $\varepsilon > 0$에 대해, 유계 오차 양자 대비 랜덤화 통신 복잡도에서 거의 최적의 분리 $O(\log n)$ 대 $\Omega(n^{1-\varepsilon})$를 달성한다.
• 이전까지의 최선의 분리는 다항식적으로 약한 것으로, Tal(FOCS 2020)이 보여준 바와 같이 $O(1)$ 대 $\Omega(n^{2/3-\varepsilon})$였으며, 이는 이 논문의 결과보다 더 낮은 수준이었다.
• 분석은 입력 분포의 영향과 랜덤 알고리즘에서의 오차 전파를 정밀하게 제어하는 데 기반한 결정 트리에 대한 푸리에 분석의 새로운 응용에 의존한다.