[논문 리뷰] An optimal transportation approach to the decay of correlations for non-uniformly expanding maps

Benoît Kloeckner|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 03.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 33인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 다양한 정규성 조건을 가진 잠재함수를 갖는 비균일적으로 확장되는 사상에서 상관관계의 지수적 감쇠를 확립하기 위해 최적 운반 프레임워크를 제안한다. 저자들은 잠재함수에 대한 새로운 평탄도 조건을 도입하여, 마르코프 분할이나 유도 기법에 의존하지 않고 루엘-페론-프로베르 정리와 스펙트럼 간격 결과를 증명함으로써 이전 결과들을 통합적으로 복원하고 확장한다. 특히 Pomeau-Manneville 사상과 낮은 정규성 조건을 가진 확장 사상에 대해 성립한다.

ABSTRACT

We consider the transfer operators of non-uniformly expanding maps for potentials of various regularity, and show that a specific property of potentials ("flatness") implies a Ruelle-Perron-Frobenius Theorem and a decay of the transfer operator of the same speed than entailed by the constant potential. The method relies neither on Markov partitions nor on inducing, but on functional analysis and duality, through the simplest principles of optimal transportation. As an application, we notably show that for any map of the circle which is expanding outside an arbitrarily flat neutral point, the set of H{\\"o}lder potentials exhibiting a spectral gap is dense in the uniform topology. The method applies in a variety of situation, including Pomeau-Manneville maps with regular enough potentials, or uniformly expanding maps of low regularity with their natural potential; we also recover in a united fashion variants of several previous results.

연구 동기 및 목표

• 비균일적으로 확장되는 사상의 전이 연산자에 대해 더 낮은 정규성 조건을 가진 잠재함수를 갖는 경우 상관관계 감쇠를 확립하는 것.
• 기존의 균일하게 확장되는 사상과 허더 연속 잠재함수의 범위를 초월하여 새로운 평탄도 조건을 통해 스펙트럼 간격 결과를 일반화하는 것.
• Pomeau-Manneville 사상과 낮은 정규성 조건을 가진 확장 사상에 대한 이전 상관관계 감쇠 결과들을 통합하고 확장하는 것.
• 마르코프 분할이나 유도 기법을 피하는 기능해석학적이고 쌍대성 기반의 방법을 제공하는 것.
• 중립 고정점이 있는 사상에 대해 스펙트럼 간격을 갖는 잠재함수의 집합이 균일 위상에서 조밀한가를 보여주는 것.

제안 방법

• 정규성 조건을 정의하는 연속성 모듈러스를 통해 잠재함수에 대한 평탄도 조건을 도입하여 스펙트럼 간격과 상관관계 감쇠를 보장한다.
• 르울-페론-프로베르 정리를 통해 전이 연산자를 마르코프 전이 핵으로 연결하기 위해 쌍대성과 기능해석학을 활용한다.
• 최적 운반 이론을 적용하여 결합을 암묵적으로 조합하고 가중치가 부여된 마르코프 체인의 수렴을 제어한다.
• 결합 논증을 통해 역방향 랜덤 워크의 수축 성질을 활용하여 쌍대 연산자의 수렴을 증명한다.
• 일반적인 수렴 기준(보조정리 5.8)을 적용하여 평탄도 조건을 통해 가중치가 없는 핵의 감쇠 속도와 가중치가 있는 핵의 감쇠 속도를 연결한다.
• 원래 버전의 심각한 오류(보조정리 2.14)를 수정하기 위해 결합 조건을 재정의하고, 섹션 5.1에서 새로운 기준을 제시하여 수정된 가정을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균일적으로 확장되는 사상의 전이 연산자가 스펙트럼 간격을 갖기 위한 잠재함수의 조건은 무엇인가?
• RQ2 마르코프 분할이나 유도 기법을 사용하지 않고 이러한 사상의 상관관계 감쇠를 확립할 수 있는가?
• RQ3 잠재함수의 정규성과 평탄도는 지수적 또는 다항적 감쇠를 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 최적 운반 이론을 어떻게 활용하여 기존 상관관계 감쇠 결과들을 통합하고 일반화할 수 있는가?
• RQ5 중립 고정점이 있는 사상에 대해 스펙트럼 간격을 갖는 잠재함수의 집합은 균일 위상에서 조밀한가?

주요 결과

• 임의로 평탄한 중립점이 있는 원주 사상에 대해, 스펙트럼 간격을 갖는 허더 연속 잠재함수의 집합은 균일 위상에서 조밀하다.
• 정규성 조건을 정의하는 연속성 모듈러스를 통해 정의된 잠재함수의 평탄도 조건은 일정한 잠재함수의 경우와 동일한 감쇠 속도를 전이 연산자에 보장한다.
• 이 방법은 정규 잠재함수를 갖는 Pomeau-Manneville 사상에 대한 이전 결과의 다양한 변형을 복원하고 통합한다.
• 일반적으로 확장되는 사상에서 $\mathscr{C}^{\beta\log}$-정규성 조건을 갖는 자코비안을 가진 경우, 자연스러운 잠재함수 $A = -\log JT$ 는 스펙트럼 간격과 다항 감쇠 상관관계를 유도한다.
• 수정된 버전은 섹션 5.1에서 새로운 기준을 제시하고 결합 조건을 재정의함으로써 핵심 정리(정리 4.1)의 타당성을 확보한다.
• 이 방법은 지수 감쇠 외에도 잠재함수의 평탄도와 정규성에 따라 다항 또는 중간 감쇠 속도를 도출할 수 있다.