[논문 리뷰] An optimization problem for the first eigenvalue of the $p-$fractional laplacian

Leandro M. Del Pezzo, Julián Fernández Bonder외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 12.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 잠재력 $V$ 가 있는 비국소적 $p$-분수 라플라스 연산자의 첫 번째 고유값 최적화를 조사하며, 첫 번째 고유값의 존재성, 양성, 단순성 및 고립성을 확립한다. $V$ 에 대해 $L^q$-노름 제약 조건이 있을 경우, 첫 번째 고유값을 최소화하거나 최대화하는 최적의 잠재력이 존재함을 증명하며, 이는 처음으로 고전적 결과를 비국소적 비선형 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we analyze an eigenvalue problem related to the nonlocal $p-$laplace operator plus a potential. After reviewing some elementary properties of the first eigenvalue of these operators (existence, positivity of associated eigenfunctions, simplicity and isolation) we investigate the dependance of the first eigenvalue on the potential function and establish the existence of some {\em optimal} potentials in some admissible classes.

연구 동기 및 목표

• 잠재력 $V$ 가 있는 $p$-분수 라플라스 연산자에 대해 첫 번째 고유값의 존재성과 기본 성질(양성, 단순성, 고립성)을 확립하는 것.
• $q > \max\{1, n/(sp)\}$ 인 $L^q(\Omega)$ 에서 잠재력 함수 $V$ 가 첫 번째 고유값에 미치는 영향을 분석하는 것.
• $L^q$-구 내에서 첫 번째 고유값을 최소화하거나 최대화하는 잠재력 $V$ 를 찾는 최적화 문제를 해결하는 것.
• 기존의 고전적 $p=2$ 및 국소적 경우의 결과를 비국소적 비선형 분수 $p$-라플라스 연산자 설정으로 확장하는 것.
• 적절한 $V$ 의 적분 가능성 조건 하에서 고유함수의 정규성 결과를 제공하여 유계성과 허더 연속성을 보여주는 것.

제안 방법

• 약한 해를 정의하기 위해 분수적 소볼레프 공간 $W^{s,p}(\Omega)$ 와 그 부분공간 $W_0^{s,p}(\Omega)$, $\widetilde{W}^{s,p}(\Omega)$ 의 사용.
• 레이일리 몫을 통한 첫 번째 고유값 존재성 증명을 위한 변분 방법과 직접 최소화의 적용.
• 비국소성 처리를 위해 게일라르도 반노름과 주요값 적분을 통한 분수 $p$-라플라스 연산자의 정의를 활용.
• 유계성 증명을 위한 절단 기법과 반복적인 $L^p$-노름 추정의 활용.
• 정규성 분석에서 노름을 제어하기 위해 분수 소볼레프 포함 정리와 허더 부등식의 적용.
• $L^q$ 에서 컴actness와 약한 하부 연속성의 활용을 통해 $L^q$-구 내 최적의 잠재력 존재성 확보.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잠재력 $V$ 가 있는 $p$-분수 라플라스 연산자의 첫 번째 고유값은 존재하는가? 그리고 고립적이고 단순한가?
• RQ2 $L^q(\Omega)$ 에서 잠재력 $V$ 에 대해 첫 번째 고유값은 연속적이거나 단조롭게 의존하는가?
• RQ3 $L^q$-구 내에서 첫 번째 고유값을 최소화하거나 최대화하는 최적의 잠재력 $V$ 를 찾을 수 있는가?
• RQ4 $V \in L^q(\Omega)$ 조건 하에서 첫 번째 고유값에 대응하는 고유함수는 유계적이며 허더 연속적인가?
• RQ5 $V \in L^\infty(\Omega)$ 일 때 고유함수의 정규성 및 구조적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 잠재력 $V \in L^q(\Omega)$, $q > \max\{1, n/(sp)\}$ 인 경우, 첫 번째 고유값 $\lambda_1$ 이 존재하며, 양성, 단순성, 고립성을 모두 만족한다.
• 관련 고유함수는 음이 아닌 값을 가지며 $L^\infty(\mathbb{R}^n)$ 에 속하며, 반복적인 $L^{pq'}$-노름 추정을 통해 유계성이 확립된다.
• $V \in L^\infty(\Omega)$ 일 경우, 고유함수는 $\overline{\Omega}$ 에서 허더 연속적이다. 즉, 어떤 $\alpha \in (0,1)$ 에 대해 $u \in C^\alpha(\overline{\Omega})$ 이다.
• 첫 번째 고유값은 $L^q$-노름에서 $V$ 에 대해 연속적이고 단조롭게 의존하므로, $L^q$-구에서의 최적화가 가능하다.
• $L^q$-구 $\|V\|_q \leq M$ 내에서 첫 번째 고유값을 극대화하거나 극소화하는 최적의 잠재력이 존재하며, 이는 비국소적 비선형 설정에서 최적화 문제를 해결한다.
• 모든 결과는 선형 사례 $p=2$ 에서조차 새로운 것으로, 기존의 표준 분수 라플라스 연산자 및 $p$-라플라스 연산자 연구를 비국소적 $p$-분수 설정으로 확장한다.