[논문 리뷰] An Osgood's criterion for a semilinear stochastic differential equation

Jorge A. Leòn, Liliana Peralta외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 30.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 곱셈적 소음을 가진 비자율적 반선형 확률미분방정식 (SDE) $ dX_t = b(t,X_t)dt + \sigma(t)X_t dW_t $의 형태에 대해 오스굿의 기준을 확장하며, $ 1/b $의 적분 가능성에 기반한 유한시간 폭발 조건을 확립하고, $ \sigma \equiv 1 $인 경우 펠러의 테스트를 일반화한다. 주요 결과는 $ b $와 $ \sigma $에 대해 주어진 정규성 및 단조성 조건 하에서, 폭발이 일어나는 것은 $ \int_\theta^\infty \frac{ds}{b(\omega,a,s)} < \infty $를 만족하는 어떤 $ a > 0 $가 존재할 때에만 성립한다는 것이다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to give an Osgood's criterion for solutions of semilinear stochastic differential equations of the form $X_{t}=ξ+\int_{0}^{t}b(s,X_{s})ds+\int_{0}^{t}σ(s)X_{s}dW_{s},\ t\geq 0$. Here, $b$ is a non-negative, non-decreasing by components and continuous random field and $σ$ is a predictable and continuous process. Also we present a generalization of the so-called Feller's test whenever $σ\equiv 1$.

연구 동기 및 목표

• 비자율적 반선형 SDE에 대한 유한시간 폭발 기준의 부재를 해결한다.
• 시간 및 상태에 의존하는 비선형성과 함께 시간에 따라 변하는 비율을 가진 SDE에 대해 오스굿의 고전적 기준을 미분방정식에서 확률적 설정으로 일반화한다.
• 적절한 정규성 및 단조성 조건 하에서 $ \sigma \equiv 1 $인 비자율적 경우에 펠러의 테스트를 확장한다.
• 역 비율 함수의 경로 기반 적분 가능성에 기반한 확률적 폭발 기준을 수립한다.
• 시간-변형 브라운 운동을 이용한 변환 프레임워크를 제시하여 문제를 시간 동질적 설정으로 환원한다.

제안 방법

• 원래 SDE를 시간-변형 확산으로 변환하기 위해 이토의 공식을 적용하기 위해 $ \Lambda(t) = \int_0^t \sigma^2(s) ds $의 제곱변동 과정을 사용한 시간-변형 기법을 적용한다.
• 시간-변형 하에서의 브라운 운동 $ \tilde{B}_t $를 고려하여 $ \tilde{Z}_t = Z_t e^{\tilde{B}_t - t/2} $에 대해 이토의 공식을 적용해 변환된 방정식을 유도한다.
• 변환된 방정식을 분석하기 위해 $ \breve{b}(\omega,t,x) = \frac{b(\omega,\Lambda^{-1}(t),e^x)}{\sigma^2(\Lambda^{-1}(t))e^x} $로 새로운 비율 계수를 정의한다.
• 비율 함수 $ b $의 단조성과 양성 조건 하에서 비교 보조정리를 적용하여, $ \int_\theta^\infty \frac{ds}{b(\omega,a,s)} < \infty $일 때 폭발이 발생함을 보인다.
• 경로 기반 분석과 강한 마코프 성질을 활용하여 원래 과정의 폭발 시간과 $ 1/b $의 적분 가능성 간의 관계를 규명한다.
• 폭발 조건이 성립할 경우, $ \int_0^\infty \exp(-\sup_t |\int_0^t \sigma(r)dW_r|) dt $의 발산과 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반선형 SDE $ dX_t = b(t,X_t)dt + \sigma(t)X_t dW_t $의 해가 어떤 조건에서 유한시간 내에 폭발하는가?
• RQ2 미분방정식에 대한 오스굿의 기준을 곱셈적 소음을 가진 비자율적 반선형 SDE로 확장할 수 있는가?
• RQ3 해의 폭발 행동는 $ 1/b $의 적분 가능성에 어떻게 의존하며, 소음 계수 $ \sigma $는 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 자율적 SDE에서의 폭발에 대한 펠러의 테스트는 $ \sigma \equiv 1 $인 비자율적 경우로 일반화 가능한가?
• RQ5 비자율적 SDE에 곱셈적 소음을 적용할 때, 분석을 위해 시간 동질적 형태로 환원하는 데 사용할 수 있는 변환 기법은 무엇인가?

주요 결과

• 주어진 정규성 및 단조성 조건 하에서, 폭발이 일어나는 것은 $ \int_\theta^\infty \frac{ds}{b(\omega,a,s)} < \infty $를 만족하는 어떤 $ a > 0 $가 존재할 때에만 성립한다.
• 만약 $ \Lambda(\infty) = \infty $ 이고 $ b $가 요구되는 비감소성 및 양성 조건을 만족한다면, 해 $ X_t $는 거의 확실히 유한시간 내에 폭발한다.
• $ \Lambda(\infty) = \infty $ 조건 하에서 폭발 시간이 유한한 것은 $ \theta > e^c $, $ c \geq 0 $인 경우에 $ \int_\theta^\infty \frac{ds}{b(\omega,a,s)} < \infty $일 때에만 성립한다.
• 변환된 과정 $ \tilde{Z}_t $는 비율 항이 $ \frac{b(\Lambda^{-1}(s), \tilde{Z}_s)}{\sigma^2(\Lambda^{-1}(s))} $인 시간 동질적 SDE를 만족하므로 기존의 비교 결과를 적용할 수 있다.
• 폭발 시간은 경로 기반으로 특징지어지며, 거의 모든 $ \omega_0 \in \tilde{\Omega} $에 대해, $ 1/b $의 적분이 발산할 경우 해가 폭발한다.
• $ \sigma^2 > 0 $ 이고 $ \Lambda(\infty) = \infty $일 조건 하에서 폭발 조건은 $ \int_0^\infty \exp(-\sup_t |\int_0^t \sigma(r)dW_r|) dt $의 발산과 동치이며, 이는 $ \int_\theta^\infty \frac{ds}{b(\omega,a,s)} < \infty $일 경우 무한대가 된다.