[논문 리뷰] An Overlapping Domain Decomposition Preconditioner for the Helmholtz equation

Wei Leng, Lili Ju|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 12.

Electromagnetic Scattering and Analysis참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 고주파 파동 문제를 완전히 병렬적으로 해결할 수 있도록 2D 헬름홀츠 방정식에 대한 일단계적 겹치는 도메인 분할 조건자(preconditioner)를 제안한다. x 및 y 방향으로 도메인을 분할하고, PML 층을 포함한 국소 하위문제를 동시에 풀음으로써, 하위영역 수에 비례하는 반복 횟수를 가지며, 대규모 병렬 컴퓨터에서 거의 10억 개의 미지수를 가진 문제를 효율적으로 해결할 수 있다.

ABSTRACT

In this paper, based on the overlapping domain decomposition method (DDM) proposed in \cite{Leng2015}, an one step preconditioner is proposed to solve 2D high frequency Helmholtz equation. The computation domain is decomposed in both $x$ and $y$ directions, and the local solution on each subdomain is updated simultaneously in one iteration, thus there is no sweeping along certain directions. In these ways, the overlapping DDM is similar to the popular DDM for Poisson problem. The one step preconditioner simply take the restricted source on each subdomain, solve the local problems and summarize the local solutions on all subdomains including their PML area. The complexity of solving the problem with the preconditioner is $O(N n_{ ext{iter}})$, where $n_{ ext{iter}}$ is the number of iteration, and it is shown numerically that $n_{ ext{iter}}$ is proportional to the number of subdomains in one direction. 2D Helmholtz problem with nearly a billion unknowns are solved efficiently with the preconditioner on massively parallel machines.

연구 동기 및 목표

• 일방적인 스위핑 없이 고주파 2D 헬름홀츠 문제에 대해 스케일러블하고 병렬적인 조건자를 개발한다.
• 겹치는 도메인 분할을 통해 거의 10억 개의 미지수를 가진 대규모 헬름홀츠 문제를 효율적으로 해결할 수 있도록 한다.
• 일단계적 비스위핑 반복 방법을 통해 주파수 및 문제 크기와 무관하게 강건한 수렴성을 유지한다.
• 다양한 복잡한 매질, 특히 层상 및 Marmousi 모델을 대상으로 대규모 병렬성을 활용하여 조건자의 효과를 입증한다.

제안 방법

• 계산 도메인을 x 및 y 방향으로 겹치는 하위영역으로 분할하여, 방향성 스위핑 없이 완전히 병렬적인 업데이트를 가능하게 한다.
• 각 하위영역에서 제한된 소스 항을 가진 국소 헬름홀츠 문제를 풀고 PML 영역을 포함시켜 일단계 조건자를 구성한다.
• 흡수 경계 조건으로 단축축 PML를 사용하며, x 및 y 방향 모두에 복소 좌표 변형을 적용한다.
• 전역 해는 겹치는 PML 층 기여를 포함한 국소 해들의 합으로 구성되어 파동의 연속성과 흡수를 보장한다.
• 반복 과정에서 모든 하위영역이 한 번의 단계에 동시에 업데이트되어 전통적인 DDM의 순차적 스위핑을 피한다.
• 대규모 병렬 컴퓨터에서 구현되며, 국소 문제는 독립적이고 비동기적으로 풀린다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비스위핑이고 겹치는 도메인 분할 방법이 고주파 헬름홀츠 문제에 대해 강건한 수렴성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 병렬 환경에서 문제 크기 및 하위영역 수에 따라 반복 횟수는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 Marmousi 모델과 같은 복잡한 매질에서도 조건자가 효율성과 스케일러빌리티를 유지하는가?
• RQ4 겹침 영역 크기의 변화가 수렴성과 계산 비용에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 병렬 아키텍처를 활용해 거의 10억 개의 미지수를 가진 헬름홀츠 문제를 효율적으로 해결할 수 있는가?

주요 결과

• GMRES 반복 횟수가 한 방향의 하위영역 수에 비례하여 선형적으로 증가하여 양호한 스케일러빌리티를 보였다.
• 일정 매질의 경우, 다양한 문제 크기에서 등가 스위핑 수는 약 7~10로 유지되어 주파수에 대한 강건성을 보였다.
• 층상 매질 테스트에서는 문제 크기가 19,200² 미지수로 증가함에도 불구하고 등가 스위핑 수가 약 9~11로 일관되게 유지되었다.
• 977백만 개의 미지수를 가진 Marmousi 모델에서, 54,150 × 18,050 그리드 포인트와 4,332개의 프로세서를 사용해 1,123번의 GMRES 반복으로 수렴을 달성하였다.
• 추가 겹침 영역 없이도 반복당 시간 비용이 크게 감소했지만, 더 큰 겹침은 국소 해를 풀기 위한 시간과 총 비용을 증가시켰다.
• 방법은 약한 스케일러빌리티를 보였으며, 문제 크기가 증가함에 따라 등가 스위핑 수가 거의 일정하게 유지되어 대규모 문제에 대한 강건성을 확인하였다.