[논문 리뷰] An overview of the Eight International Olympiad in Cryptography "Non-Stop University CRYPTO"

A. Gorodilova, N. Tokareva외 14명|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 25.

Coding theory and cryptography인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 2021년에 개최된 제8회 국제 암호 올림피아드 'Non-Stop University CRYPTO'(NSUCRYPTO 2021)에서 제기된 19개의 문제와 그 해결책을 제시한다. 이 올림피아드는 암호학 분야의 다양한 주제, 즉 암호, 순열, 양자 오류 정정, s-불리안 공유, 암호학적 함수와의 거리 등에 걸쳐 해결된 문제들과 열려 있는 문제들을 포함하고 있다. 19개의 문제는 다양한 주제를 다루었으며, 그 중 네 가지는 열려 있는 연구 문제를 제기하였다. 본 논문은 이러한 문제들에 대한 상세한 해법과 부분적인 진전을 제공하며, 특히 APN 함수, 양자 오류 정정, s-불리안 공유 분야에서의 기여를 강조한다. 이는 국제 참가자들과 연구자들의 기여를 반영하고 있다.

ABSTRACT

Non-Stop University CRYPTO is the International Olympiad in Cryptography that was held for the eight time in 2021. Hundreds of university and school students, professionals from 33 countries worked on mathematical problems in cryptography during a week. The aim of the Olympiad is to attract attention to curious and even open scientific problems of modern cryptography. In this paper, problems and their solutions of the Olympiad'2021 are presented. We consider 19 problems of varying difficulty and topics: ciphers, online machines, passwords, binary strings, permutations, quantum circuits, historical ciphers, elliptic curves, masking, implementation on a chip, etc. We discuss several open problems on quantum error correction, finding special permutations and s-Boolean sharing of a function, obtaining new bounds on the distance to affine vectorial functions.

연구 동기 및 목표

• 2021년에 온라인으로 개최된 제8회 국제 암호 올림피아드 'Non-Stop University CRYPTO'(NSUCRYPTO 2021)에서 제기된 19개의 문제를 제시하고 분석한다. 이 올림피아드에는 33개 국가의 참가자들이 참여하였다.
• 대칭 암호, 순열, 이진 문자열, 타원곡선, 마스킹, 양자 회로 등에 관한 문제들에 대한 상세한 해법을 제공한다.
• 양자 오류 정정, s-불리안 공유, 특수 순열, 암호학적 함수와의 거리에 대한 상한에 관한 네 가지 열려 있는 문제를 강조하고 논의한다.
• 참가자들이 기여한 부분적 또는 완전한 해법, 특별상 수상작을 기록하며 이전에 제기된 열려 있는 문제들의 상태를 갱신한다.
• 수학과 암호학의 교차 분야에서 실제로 해결되지 않은 문제들을 공개함으로써 연구 참여를 촉진하고, 향후 학술적 조사의 계기를 마련한다.

제안 방법

• 선택된 문제들은 대칭 암호, 온라인 기계, 암호문, 이진 문자열, 순열, 양자 회로, 역사적 암호, 타원곡선, 마스킹, 하드웨어 구현 등 다양한 암호학 주제에서 유래되었다.
• 각 문제는 해결 가능한 과제와, 네 가지의 경우에서 열려 있는 연구 과제를 포함하도록 구성되어, 더 깊은 탐구를 유도하였다.
• 해법은 주로 수학적 분석, 다항식 정규형 변환, 계산적 탐색 기법을 통해 도출되었으며, 특히 s-불리안 공유와 순열 특성 분석 문제에서 두드러졌다.
• 양자 오류 정정과 s-불리안 공유 문제의 경우, 참가자들은 유한체 위에서의 대수적 구조와 선형 대수학을 활용하여 타당성과 예시를 탐색하였다.
• 올림피아드 형식은 원격 참가를 허용하였으며, 문제들은 두 라운드로 나뉘어 공개되었고, 열려 있는 문제에 대한 중요한 진전을 보인 참가자들에게 특별상이 수여되었다.
• 논문은 참가자들로부터의 해법을 종합하고 분석하였으며, 특히 s-불리안 공유 문제에서 부분적 진전을 이룬 중국 팀의 기여를 기록하였고, 정규 배열과 기밀 공유와 관련된 이전 연구 결과도 참조하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n = 7 또는 n = 8일 때, 알려진 APN 거듭제곱 함수 F(x) = xd에 대해 L1(x) + L2(F(x))가 순열이 되는 선형 함수 L1과 L2를 찾을 수 있는가?
• RQ2 n ≥ 9일 때, 알려진 APN 지수 d에 대해 L1(x) + L2(F(x))가 순열이 되는 비영인 선형 함수 L1과 L2가 존재하는가?
• RQ3 모든 n에 대해 유효한, 함수 F와 모든 암호학적 함수 사이의 해밍 거리에 대한 최선의 상한은 무엇인가?
• RQ4 해밍 거리가 가능한 한 크게 유지되는 무한한 함수의 가족을 구성할 수 있는가?
• RQ5 특히 비자명한 경우에 대해, 함수의 s-불리안 공유의 구조적 성질과 존재 조건은 무엇인가?

주요 결과

• d = 2^2i − 2^i + 1이고 gcd(i, n) = 1일 때, APN 함수 F(x) = xd에 대해 L1(x) + L2(F(x))가 순열이 되는 유일한 해는 L1 또는 L2 중 하나가 0이고 나머지 하나가 순열이 되는 경우이며, 이는 n = 7 또는 n = 8일 때 성립한다.
• Q2 문제에서 n ≥ 9일 경우 비자명한 해(즉, L1과 L2 모두 0이 아닌 경우)는 발견되지 않았지만, 아드리크 치리코프가 특정 케이스에 대해 비자명한 해를 보고하였다.
• 공유우 시, 콩 루이, 진 하오시앙으로 구성된 팀은 다항식 정규형과 단항식 분해 기법을 활용하여 s-불리안 공유 문제에서 부분적 성공을 거두었다.
• 양자 오류 정정 문제에 대해서는 부분적으로 다루어졌으며, 참가자들은 안정자 코드와 논리 큐비트 구성 방법을 탐색하였지만, 완전한 해법은 발견되지 않았다.
• n ≥ 4일 때, 함수와 모든 암호학적 함수 사이의 거리 상한이 2^n − n − 1보다 엄밀히 작다는 것이 확인되었으며, 이 상한에 가까이 갈 수 있는 새로운 구성 방법이 제안되었다.
• 가브르 피. 나가, 가브르 비. 나가, 마이클로스 마로티로 구성된 팀은 함수와 암호학적 함수 사이의 거리와 미분 균일성 간의 관계를 제시하여, 더 강력한 상한 도달 가능성을 시사하였다.