[논문 리뷰] An SDE approximation for stochastic differential delay equations with colored state-dependent noise

Austin McDaniel, Özer Duman외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 27.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 색보유 상태의 상태에 의존하는 소음을 가진 다차원 확률적 미분 지연 방정식(SDDEs)에 대한 확률적 미분 방정식(SDE) 근사법을 제안한다. 시간 지연과 소음 상관 시간이 모두 0으로 수렴하는 극한에서, Kurtz와 Protter의 확률 적분 수렴에 관한 정리를 이용하여 엄밀한 SDE 근사법을 수립함으로써, 지연되고 상관된 소음 반응을 갖는 실제 시스템의 단순화된 모델링을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider a general multidimensional stochastic differential delay equation (SDDE) with colored state-dependent noises. We approximate it by a stochastic differential equation (SDE) system and calculate its limit as the time delays and the correlation times of the noises go to zero. The main result is proven using a theorem about convergence of stochastic integrals by Kurtz and Protter. It formalizes and extends a result that has been obtained in the analysis of a noisy electrical circuit with delayed state-dependent noise, and may be used as a working SDE approximation of an SDDE modeling a real system, where noises are correlated in time and whose response to noise sources is delayed.

연구 동기 및 목표

• 지연되고 상태에 의존하는 소음을 갖는 노이즈가 있는 전기 회로에서 이전에 관찰된 근사법을 체계화하고 확장하기 위해.
• 일반적인 다차원 SDDEs에 대해 색보유 소음을 갖는 엄밀한 SDE 기반 근사법을 제공하기 위해.
• 소음이 시간적으로 상관되고 상태에 의존하며 지연이 존재하는 실제 시스템의 실용적 모델링을 가능하게 하기 위해.
• 지연과 상관 시간이 소멸하는 극한에서 SDDE 시스템이 SDE로 수렴하는 것을 고급 확률 분석을 통해 수립하기 위해.

제안 방법

• 연구는 확률 적분의 수렴에 관한 Kurtz와 Protter의 정리를 활용하여 SDDE의 극한 행동을 분석한다.
• 시간적 상관성을 표현하기 위해 색보유 소음을 통합된 온스터린-홀렌부르크 과정으로 모델링한다.
• 상태 변수의 시간 지연는 극한 분석에서 점차 0으로 줄여나간다.
• 상태에 의존하는 소음은 일반적인 함수 형태로 다루어지며 과거 상태에 대한 의존성을 유지한다.
• 적절한 모멘트 및 정규성 조건 하에서 해 과정의 법칙 수렴이 확립된다.
• 결과로 얻어진 SDE 근사법은 극한 조건에서 원래 SDDE의 본질적인 역학을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 지연과 소음 상관 시간이 모두 0으로 수렴하는 극한에서, 색보유 상태에 의존하는 소음을 갖는 확률적 미분 지연 방정식은 어떻게 표준 SDE로 근사될 수 있는가?
• RQ2 이러한 극한 조건 하에서 SDDE 해가 SDE 해로 수렴하기 위한 수학적 조건는 무엇인가?
• RQ3 SDE 근사법은 지연되고 상관된 소음을 갖는 원래 SDDE의 통계적 및 역학적 행동을 어떤 의미에서 유지하는가?
• RQ4 확률 적분 수렴에 관한 수렴 정리와 같은 기존의 확률 분석 도구를 사용하여 이 근사법을 엄밀히 정당화할 수 있는가?
• RQ5 이 근사법은 지연 피드백과 색보유 소음을 갖는 실제 물리 시스템의 모델링에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 시간 지연과 소음 상관 시간이 모두 0으로 수렴함에 따라 SDDE의 해는 법칙 수렴하여 SDE의 해로 수렴한다.
• Kurtz와 Protter의 정리를 이용하여 수렴이 확립되어 엄밀한 기반을 제공한다.
• 결과로 얻어진 SDE 근사법은 극한 조건 하에서 원래 시스템의 본질적인 역학을 포착한다.
• 이 방법은 상태에 의존하는 소음을 갖는 일반적인 다차원 시스템에 적용 가능하며, 전기 회로와 같은 특정 응용 분야에서의 이전 결과를 확장한다.
• 이 근사법은 지연되고 상관된 소음을 갖는 복잡한 시스템의 분석과 시뮬레이션을 단순화할 수 있으며, 본질적인 통계적 특성을 손실 없이 유지한다.