[논문 리뷰] An SPDE Model for Systemic Risk with Endogenous Contagion

Ben Hambly, Andreas Søjmark|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 30.

Credit Risk and Financial Regulations참고 문헌 15인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 대규모 금융 시스템에서의 체계적 리스크를 위한 비선형 스토케스틱 편미분방정식(SPDE) 모델을 제안한다. 이 모델은 영구적 고갈(고갈 시점은 0)을 가지는 확산의 평균장 상호작용을 통해 내재된 전염을 포함한다. 모델은 딜레르트 경계 조건을 가진 비선형 SPDE를 통해 고갈의 군집화를 기록하며, 평균장 한계의 존재성과 유일성을 증명하기 위해 새로운 열핵 추정을 수립한다.

ABSTRACT

We propose a dynamic mean field model for `systemic risk' in large financial systems, which we derive from a system of interacting diffusions on the positive half-line with an absorbing boundary at the origin. These diffusions represent the distances-to-default of financial institutions and absorption at zero corresponds to default. As a way of modelling correlated exposures and herd behaviour, we consider a common source of noise and a form of mean-reversion in the drift. Moreover, we introduce an endogenous contagion mechanism whereby the default of one institution can cause a drop in the distances-to-default of the other institutions. In this way, we aim to capture key `system-wide' effects on risk. The resulting mean field limit is characterized uniquely by a nonlinear SPDE on the half-line with a Dirichlet boundary condition. The density of this SPDE gives the conditional law of a non-standard `conditional' McKean--Vlasov diffusion, for which we provide a novel upper Dirichlet heat kernel type estimate that is essential to the proofs. Depending on the realizations of the common noise and the rate of mean reversion, the SPDE can exhibit rapid accelerations in the loss of mass at the boundary. In other words, the contagion mechanism can give rise to periods of significant systemic default clustering.

연구 동기 및 목표

• 대규모 금융 시스템에서 내재된 전염, 공통 충격, 군중행동을 통합하여 체계적 리스크를 모델링하기.
• 금융 위기 기간 동안 관찰되는 비선형 피드백 효과를 기록하는 동적 평균장 모델을 개발하기.
• 영구적 고갈(0에서의 흡수)을 가지는 상호작용 확산의 대규모 시스템의 한계 행동을 비선형 SPDE로 특성화하기.
• 새로운 상한 딜레르트 열핵 추정을 사용하여 평균장 한계의 엄밀한 수학적 기초를 확립하기.
• 내재된 전염 메커니즘으로 인해 빠르고 군집된 고갈 사건이 발생할 수 있음을 보여주기.

제안 방법

• 금융 기관을 양의 반선상에서의 확산으로 모델링하여 고갈까지의 거리를 나타내며, 0에서의 흡수는 고갈을 의미한다.
• 체계적 충격을 모델링하기 위해 공통 노이즈 과정을 도입하고, 군중행동을 기록하기 위해 평균 회귀 성향의 드리프트를 사용한다.
• 한 기관의 고갈이 다른 기관의 고갈까지의 거리에 하향적 점프를 유도하는 내재된 전염 메커니즘을 구현한다.
• 반선상에서 딜레르트 경계 조건을 가지는 비선형 SPDE로 평균장 한계를 유도한다.
• 스케일 변환(유프시 맵)을 사용하여 제1통과 시간 행동을 분석하고 변환된 과정의 드리프트를 제어한다.
• 수렴성과 유일성을 증명하는 데 필수적인 조건부 매킨–브라소프 확산에 대한 새로운 상한 딜레르트 열핵 추정을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대규모 상호작용 기관을 가진 금융 시스템에서 내재된 전염을 공식적으로 어떻게 모델링할 수 있는가?
• RQ2 흡수와 내재된 고갈 전염을 가지는 상호작용 확산의 시스템의 평균장 한계는 무엇인가?
• RQ3 결과로 도출된 SPDE 모델은 체계적 위기의 특징인 빠르고 군집된 고갈 사건을 나타낼 수 있는가?
• RQ4 평균장 한계의 존재성과 유일성을 엄밀히 확립하기 위해 필요한 수학적 도구는 무엇인가?
• RQ5 공통 노이즈와 평균 회귀가 내재된 전염과 어떻게 상호작용하여 체계적 리스크 역학을 만들어내는가?

주요 결과

• 상호작용 입자 시스템의 평균장 한계는 반선상에서 딜레르트 경계 조건이 있는 비선형 SPDE로 유일하게 특성화된다.
• 일부 공통 노이즈와 평균 회귀의 실현에서 경계에서 질량의 급격한 손실이 발생하여 체계적 고갈 군집화가 나타난다.
• 조건부 매킨–브라소프 확산에 대한 새로운 상한 딜레르트 열핵 추정이 유도되었으며, 이는 수렴성과 유일성 증명에 필수적이다.
• 모델은 한 고갈이 다른 기관의 고갈까지의 거리에 하락을 유도하는 구조적 메커니즘을 통해 내재된 전염을 기록한다.
• 유한 시스템에서 평균장 한계로의 수렴은 대수의 법칙과 타이트니스 추정을 통해 확립된다.
• 모델은 큰 외부 충격 없이도 피드백 메커니즘으로 인해 체계적 리스크가 내재적으로 발생할 수 있음을 보여준다.