[논문 리뷰] An Uncertainty Principle For Completely Positive Maps

Jeremy Levick|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 완전히 양의 매핑(completely positive, CP)에 대한 불확정성 원리를 수립하며, 관련 양자 채널의 구조를 관련 행렬의 독립 매트로이드와 연결함으로써, 이 매트로이드의 사이클이 쌍대 채널의 부분대수적 구조를 지배함을 보여준다. 이는 양자 채널의 상보성과 연산자 체계 내 선형 종속성 간의 깊은 이중성의 밝혀낸다.

ABSTRACT

We present an "uncertainty principle" for quantum channels, showing a relationship between the dimensions of the range of a channel and the range of its complement. We examine some interesting specific cases, and discuss consequences for privacy of quantum channels.

연구 동기 및 목표

• 완전히 양의 매핑에 적용 가능한 양자 불확정성 원리를 개발하여, 전통적인 관측량을 넘어서 개념을 확장한다.
• Kraus 연산자로부터 유도된 상관 행렬의 독립 매트로이드를 사용하여 상보적 양자 채널의 구조적 제약 조건을 특성화한다.
• Choi 행렬의 그람 벡터(Gram vectors) 내 선형 종속성이 쌍대 채널의 최소 프로젝션에 대한 이미지에 어떻게 영향을 미치는지 규명한다.
• 상관 행렬의 매트로이드 내 사이클과 쌍대 채널의 이중중심화(double commutant) 내 특정 부분대수의 등가성 간의 대응 관계를 수립한다.

제안 방법

• CP 매핑을 그 Choi 행렬과 연결하기 위해 Choi-Jamiolkowski 이sovorphism를 사용하여, Kraus 연산자 구성에 스펙트럼 분해를 적용한다.
• Stinespring 확장에 의해 보완 채널 Φᶜ를 정의하며, Φᶜ(X) = (Tr⊗Id)(U(X⊗E₁₁)U*)로 표현하고, Φ의 Kraus 연산자로부터 이를 유도한다.
• 보완 채널의 Choi 행렬을 블록 행렬 형태로 표현하며, 각 블록은 vᵢvⱼ* 형태의 질량-일차 블록이며, aᵢⱼ = ⟨vᵢ,vⱫ⟩를 원소로 갖는 상관 행렬 A를 구성한다.
• 블록 행렬의 Schur 보조정리를 적용하여 양의 준정부정성에 필요한 조건을 유도하며, 이로 인해 비대각 블록이 질량-일차여야 하고 주요 벡터와 정렬되어야 한다는 결론을 이끌어낸다.
• 상관 행렬 A의 독립 매트로이드를 도입하며, 독립 집합은 선형 독립인 열 벡터 집합에 대응하고, 사이클은 최소 선형 종속 부분집합을 나타낸다.
• 만약 인덱스 집합이 매트로이드 내에서 사이클을 이룬다면, 쌍대 채널 Φᶜ†의 임의의 최소 프로젝션에 대한 이미지가 해당 블록 구성 요소에서 동일한 고유값을 가짐을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Choi 행렬의 그람 벡터 간의 선형 종속성이 보완 채널의 구조에 어떻게 제약을 가하는가?
• RQ2 상관 행렬의 독립 매트로이드가 쌍대 채널의 부분대수적 구조를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 쌍대 채널의 최소 프로젝션에 대한 이미지가 어떤 조건에서 특정 블록 부분집합에 대해 동일한 고유값을 갖는 블록 대각 행렬이 되는가?
• RQ4 Choi 행렬, Kraus 연산자, 보완 채널 간의 상호작용을 통해 완전히 양의 매핑에 대한 불확정성 원리는 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• Choi의 정리에 따라, 완전히 양의 매핑의 Choi 행렬이 양의 준정부정이 되는 것은 그 매핑이 완전히 양의임과 필요충분조건이다.
• 완전히 양의 매핑의 Kraus 연산자는 Choi 행렬의 정규직교 고유벡터를 벡터화 및 블록 분해 과정을 통해 유도할 수 있다.
• 트레이스 보존 성질을 갖는 완전히 양의 매핑의 보완 채널 Φᶜ 역시 트레이스 보존이며, Φᶜ(X) = ∑ᵢⱼ Tr(Kⱼ*KᵢX)Eᵢⱼ로 표현될 수 있다.
• 만약 보완 채널의 Choi 행렬의 비대각 블록이 aᵢⱼvᵢvⱼ* 형태이면, 원소 aᵢⱼ를 갖는 상관 행렬 A의 질량은 원래 Choi 행렬의 질량과 같다.
• 상관 행렬 A의 독립 매트로이드 내 사이클은 쌍대 채널 Φᶜ†가 최소 프로젝션을 사상할 때, 사이클 블록에 해당하는 구성 요소에서 동일한 고유값을 갖는 연산자로의 사상에 대응한다.
• 서브대수 Φᶜ†(MD(Φᶜ†))가 이중중심화 S′′_Φ와 같아지는 것은 매트로이드의 사이클이 최소 프로젝션의 이미지 내 선형 종속성을 제어할 때에 한하여 성립한다.