[논문 리뷰] An Unified Approach on Constructing of MDS Self-dual Codes via Reed-Solomon Codes

Aixian Zhang, Keqin Feng|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 16.

Coding theory and cryptography참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 및 확장된 일반화된 리드-솔로몬 코드를 사용하여 유한체 위에서 MDS 자기수반 코드를 구성하는 통합 프레임워크를 제시한다. 제곱근 함수 $\eta_q$와 노름 사상의 공통 대수적 관점에서 이전 결과를 재해석함으로써, 저자들은 증명을 단순화하고, 특히 체 크기와 코드 매개변수에 대한 조건 하에서 다양한 길이의 MDS 자기수반 코드에 대한 새로운 구성법을 도출한다.

ABSTRACT

Based on the fundamental results on MDS self-dual codes over finite fields constructed via generalized Reed-Solomon codes \cite{JX} and extended generalized Reed-Solomon codes \cite{Yan}, many series of MDS self-dual codes with different length have been obtained recently by a variety of constructions and individual computations. In this paper, we present an unified approach to get several previous results with concise statements and simplified proofs, and some new constructions on MDS self-dual codes. In the conclusion section we raise two open problems.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 및 확장된 일반화된 리드-솔로몬 코드를 기반으로 한 기존 MDS 자기수반 코드 구성법을 통합하고 단순화하기.
• 기존에 알려진 유한체 위의 MDS 자기수반 코드에 대한 결과들을 위한 간결하고 통합된 진술과 단순화된 증명을 제공하기.
• 제안된 통합 프레임워크를 사용하여 새로운 MDS 자기수반 코드의 가족을 도출하기.
• GRS 및 EGRS 코드에서 자기수반성을 보장하는 기본 체와 코드 매개변수의 구조적 조건을 규명하기.
• MDS 자기수반 코드 길이의 완전한 특성화와 비소수 체에 대한 MDS 주요 추측의 타당성과 관련된 열린 문제 제기하기.

제안 방법

• 저자들은 $\mathbb{F}_q^*$ 위에서의 제곱근 함수 $\eta_q$ 를 사용하여 GRS 및 EGRS 코드의 자기수반성에 필요한 및 충분한 조건을 재구성한다.
• 통합 기준을 수립한다: 짝수 $n$ 에 대해 $\mathcal{C}_{grs}$ 는 $\mathcal{S}$ 에 속한 모든 $a$ 에 대해 $\eta_q(\Delta_{\mathcal{S}}(a))$ 가 일정할 때이고, 홀수 $n$ 에 대해 $\mathcal{C}_{egrs}$ 는 $\mathcal{S}$ 에 속한 모든 $a$ 에 대해 $\eta_q(-\Delta_{\mathcal{S}}(a)) = 1$ 일 때 자기수반이다.
• 체 노름 사상과 곱셈 부분군을 활용하여, $q = p^m$ 이고 $r$ 가 $q-1$ 를 나누는 조건 하에서, 더 작은 체 $\mathbb{F}_r$ 에서의 구성법을 $\mathbb{F}_q$ 로 올리는 데 사용한다.
• 바르미엔드 데테르미낸트의 곱의 제곱근 값이 일관되게 유지되는 부분집합 $\mathcal{M} \subset \mathbb{F}_r^*$ 를 선택함으로써, $\mathbb{F}_q$ 위에서 새로운 MDS 자기수반 코드를 구성한다.
• 체 $\mathbb{F}_q^*$ 내의 부분군 $B = \langle \theta^{r-1} \rangle$ 의 곱셈 코스에 대한 구조를 이용하여 $\mathcal{M}$ 을 더 큰 집합 $\mathcal{S} \subset \mathbb{F}_q$ 로 확장한다.
• 이 방법은 짝수 또는 홀수의 성질과 체 조건에 따라 $n = l \cdot \frac{q-1}{r-1}$ 또는 $n = l \cdot \frac{q-1}{r-1} + 1$ 의 새로운 코드 길이를 체계적으로 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GRS 및 EGRS 코드를 통한 MDS 자기수반 코드의 기존 구성법들이 단일 이론적 프레임워크 아래 통합될 수 있는가?
• RQ2 자기수반성을 보장하는 평가 집합 $\mathcal{S} \subset \mathbb{F}_q$ 에 대한 최소 및 가장 일반적인 조건은 무엇인가?
• RQ3 노름 사상과 제곱근 함수 성질을 어떻게 활용하여 $\mathbb{F}_q$ 위에서 새로운 MDS 자기수반 코드를 체계적으로 생성할 수 있는가?
• RQ4 체 $q = p^m$, $p \geq 3$ 일 때, 짝수 길이 $n$ 에 대해 $\mathbb{F}_q$ 위에 MDS 자기수반 코드가 존재하는가?
• RQ5 MDS 주요 추측은 $m \geq 2$ 인 $\mathbb{F}_q$ 위의 MDS 자기수반 코드에 대해 타당한가?

주요 결과

• 논문은 제곱근 함수 $\eta_q$ 를 사용하여 GRS 및 EGRS 코드에서 유도된 자기수반 MDS 코드의 통합적 특성화를 제공한다.
• 기존 결과를 증명한다: $l$ 이 짝수이고 $l \in \Sigma(g,r)$ 이면 $n = l \cdot \frac{q-1}{r-1} \in \Sigma(g,q)$ 이다. 여기서 $\Sigma(g,q)$ 는 $\mathbb{F}_q$ 위에서 MDS 자기수반 코드가 존재하는 짝수 길이의 집합이다.
• 기존 결과를 확장하여, $l$ 이 홀수이고 $l+1 \in \Sigma(eg,r)$ 이면 $n = l \cdot \frac{q-1}{r-1} + 1 \in \Sigma(eg,q)$ 를 보여준다. 이는 확장된 코드로의 구성법을 확장한다.
• 저자들은 $q \equiv 3 \pmod{4}$ 이면 $n \equiv 2 \pmod{4}$ 인 자기수반 코드가 존재하지 않음을 도출한다. 즉, $n \notin \Sigma(q)$ 라는 결론을 이끌어낸다.
• 노름과 제곱근의 일致성 조건을 활용하여, 더 작은 체 $\mathbb{F}_r$ 에서의 해를 올림으로써 새로운 MDS 자기수반 코드의 구성이 가능하다.
• 이 논문은 이러한 코드의 존재성이 $l$ 의 홀짝성과 평가 집합에서의 $\Delta_{\mathcal{S}}(a)$ 의 제곱근 함수 행동에 의해 결정된다는 것을 규명한다.