[논문 리뷰] An Upper Bound on the Size of Obstructions for Bounded Linear Rank-Width

Mamadou Moustapha Kanté, O‐joung Kwon외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 19.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 18인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고정된 유한체 위에서 선형 랭크너비가 p 이하인 그래프 및 매트로이드에 대한 금지된 피봇-미노어의 크기에 대해 p에 대해 이중 지수적 상界를 확립한다. s-라벨이 부여된 그래프와 대수적 행렬 연산을 사용하여 Lagergren의 가짜-미노어 순서를 피봇-미노어의 맥락에 적응시킴으로써, 저자는 선형 랭크너비가 유계인 경우의 장애물들이 유한하고 명시적으로 유계임을 증명하며, 선형 랭크너비 p에 대한 정점-미노어 장애물에 관한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Let G be a minor-closed graph class and let G be an n-vertex graph. We say that G is a k-apex of G if G contains a set S of at most k vertices such that G⧵S belongs to G. Our first result is an algorithm that decides whether G is a k-apex of G in time 2^poly(k)⋅n². This algorithm improves the previous one, given by Sau, Stamoulis, and Thilikos [ICALP 2020, TALG 2022], whose running time was 2^poly(k)⋅n³. The elimination distance of G to G, denoted by ed_G(G), is the minimum number of rounds required to reduce each connected component of G to a graph in G by removing one vertex from each connected component in each round. Bulian and Dawar [Algorithmica 2017] proved the existence of an FPT-algorithm, with parameter k, to decide whether ed_G(G) ≤ k. This algorithm is based on the computability of the minor-obstructions and its dependence on k is not explicit. We extend the techniques used in the first algorithm to decide whether ed_G(G) ≤ k in time 2^{2^{2^poly(k)}}⋅n². This is the first algorithm for this problem with an explicit parametric dependence in k. In the special case where G excludes some apex-graph as a minor, we give two alternative algorithms, one running in time 2^{2^O(k²log k)}⋅n² and one running in time 2^{poly(k)}⋅n³. As a stepping stone for these algorithms, we provide an algorithm that decides whether ed_G(G) ≤ k in time 2^O(tw⋅ k + tw log tw)⋅n, where tw is the treewidth of G. This algorithm combines the dynamic programming framework of Reidl, Rossmanith, Villaamil, and Sikdar [ICALP 2014] for the particular case where G contains only the empty graph (i.e., for treedepth) with the representative-based techniques introduced by Baste, Sau, and Thilikos [SODA 2020]. In all the algorithmic complexities above, poly is a polynomial function whose degree depends on G, while the hidden constants also depend on G. Finally, we provide explicit upper bounds on the size of the graphs in the minor-obstruction set of the class of graphs E_k(G) = {G ∣ ed_G(G) ≤ k}.

연구 동기 및 목표

• 선형 랭크너비가 p 이하인 그래프에 대한 금지된 정점-미노어의 최대 크기에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 대수적 및 그래프 이론적 도구를 사용하여 경로너비에서 선형 랭크너비로의 장애물 상계 이론을 확장하기 위해.
• 선형 랭크너비에 대한 장애물 크기에 대해 구축 가능하고 명시적인 상계를 제공하여 고정-파rameter 트랙태블 알고리즘을 가능하게 하기 위해.
• 경로너비에 대한 장애물 상계를 고정된 유한체 위에서 표현 가능한 매트로이드로 일반화하기 위해.

제안 방법

• s-라벨이 부여된 그래프를 사용하여 피봇-미노어와 선형 랭크너비의 맥락에 적응된 Lagergren의 가짜-미노어 순서를 도입하였다.
• 부분적 구조와 피봇-미노어 관계와 호환되는 병합 연산을 모델링하기 위해 경계가 있는 s-라벨이 부여된 그래프를 도입하였다.
• 유한체 위의 (반대칭) 행렬에서의 대수적 연산을 사용하여 그래프 및 매트로이드의 구조를 표현하고 조작하였다.
• σ-대칭 행렬과 기본 그래프의 프레임워크를 사용하여 피봇-미노어 및 선형 랭크너비에 대한 구조 정리를 증명하였다.
• 표현 이론을 통해 매트로이드의 미노어 장애물과 그래프의 피봇-미노어 장애물 간의 대응 관계를 수립하였다.
• 매트로이드의 경로너비와 그래프의 선형 랭크너비 간의 연결성을 활용하여 도메인 간 상계를 이전하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 랭크너비가 p 이하인 그래프에 대한 금지된 정점-미노어의 최대 가능한 크기는 무엇인가?
• RQ2 유계 선형 랭크너비에 대한 장애물 집합의 크기를 명시적으로 유계로 만들 수 있는가, 만약 가능하면 어떻게 할 수 있는가?
• RQ3 σ-대칭 행렬에 대해 필드 크기와 무관한 장애물 크기의 통일된 상계가 존재하는가?
• RQ4 그래프의 피봇-미노어 장애물과 경로너비가 유계인 매트로이드의 미노어 장애물 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 장애물 크기에 대한 이중 지수적 상계는 날카로운가, 아니면 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 선형 랭크너비가 p 이하인 그래프에 대한 금지된 정점-미노어의 크기에 대해 2^O(p)의 이중 지수적 상계를 확립한다.
• 고정된 유한체 F에 대해, 금지된 피봇-미노어 장애물의 크기는 |F||F|O(p) 이하이며, 이는 p에 대해 이중 지수적이다.
• 동일한 상계는 경로너비가 p 이하인 F-표현 가능한 매트로이드의 미노어 장애물에도 적용된다.
• 저자는 선형 랭크너비가 p 이하인 경우의 장애물 집합이 유한하고 명시적으로 유계임을 증명하며, 선형 랭크너비를 테스트하는 데 있어 첫 번째 FPT 알고리즘을 가능하게 한다.
• 이 상계는 s-라벨이 부여된 그래프와 행렬 대수를 사용하여 Lagergren의 가짜-미노어 순서를 피봇-미노어 관계에 대해 새로운 방식으로 적응함으로써 도출되었다.
• 이 결과는 Jeong, Kwon, 및 Oum가 제기한 정점-미노어 장애물에 대해 이러한 상계의 존재 여부에 대한 열린 문제를 해결한다.