[논문 리뷰] Analogies between analysis on foliated spaces and arithmetic geometry

Christopher Deninger|ArXiv.org|2007. 09. 18.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 23인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 폴로노미아의 해석적 코homology와 Spec ℤ 위의 스킴의 산술 zeta 함수 사이의 깊은 유사성을 제안하며, 특히 밀도가 높은 리프를 가진 폴로노미아 공간 위의 동역적 시스템이 산술 스킴에 대한 부족한 코homology 이론을 모델링할 수 있음을 시사한다. 주요 기여는 폴로노미아 흐름의 닫힌 궤도와 산술기하학의 닫힌 점을 연결하는 사전이며, 전이 연산자의 스펙트럼 추적은 해석적 수론의 명시적 공식과 유사하다.

ABSTRACT

We point out analogies between (a) the explicit formulas in analytic number theory and transversal index theory, (b) Lichtenbaum's recent conjectures on special values of Hasse-Weil zeta functions and a formula for special values of Ruelle zeta functions, (c) work of Cramer on the zeroes of the Riemann zeta function and a result of Chazarain on the trace of a wave operator. These analogies suggest certain problems in the analysis on foliated spaces. The paper is mostly a review of previous work but the ideas concerning (c) are new.

연구 동기 및 목표

• Spec ℤ 위의 산술 스킴에 대한 추측되는 코homology와 폴로노미아 다양체의 해석적 코homology 사이의 개념적 다리를 구축하기 위해.
• Hasse–Weil zeta 함수와 같은 산술기하학의 zeta 함수의 구조가 폴로노미아 흐름의 동역학에 어떻게 반영될 수 있는지 설명하기 위해.
• 일부 폴로노미아 동역적 시스템의 축소된 리프별 코homology가 산술 zeta 함수에 대한 부족한 코homological 프레임워크를 실현할 수 있음을 제안하기 위해.
• 해석적 수론의 명시적 공식을 폴로노미아 공간의 횡방향 지수 정리와 스펙트럼 불변량과 연결하기 위해.
• Cheeger–Müller 정리에 기반하여 Lichtenbaum의 zeta 함수 특수값에 대한 추측의 동역적 유사체를 만들기 위해.

제안 방법

• 다른 스킴에서 Frobenius 엔도모르피즘으로 유도된 미분형사 $\varphi$를 갖는 동역적 시스템 $(M, \varphi)$ 로부터 $X = M \times_{p^\mathbb{Z}} \mathbb{R}^*_+$ 라는 폴로노미아 공간을 구성한다.
• ${\mathbb{R}}$-행동을 통해 $\mathbb{Z}$-행동의 Frobenius를 모델링하며, 닫힌 궤도는 산술 스킴의 닫힌 점에 대응한다.
• 특히 $L^2$-코homology $\bar{H}^1_{{\mathcal{F}},(2)}(X)$ 를 포함한 폴로노미아 $\mathcal{F}$ 의 리프별 코homology 를 사용하여 산술 스킴의 추측되는 코homology 를 모델링한다.
• Cheeger–Müller 정리를 적용하여 $L^2$-스펙트럼 데이터로부터 유도된 분석적 토르션을 Reidemeister 토르션과 동일시함으로써, Lichtenbaum의 특수값 추측에 대한 동역적 유사체를 가능하게 한다.
• 흐름의 무한소 생성자 $\theta$ 의 분포적 추적 $\mathrm{tr}(e^{it|\theta|} \mid \bar{H}^1_{{\mathcal{F}},(2)}(X))$ 를 분석하여 그 특이 지지가 zeta 함수의 영점과 일치함을 보인다.
• 폴로노미아 다양체에서 파동 연산자의 스펙트럼 분포를 리만 zeta 함수의 비자명한 영점에서 유도된 Cramér 함수와 비교함으로써, 공통된 해석적 구조를 갖는다는 것을 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Spec ℤ 위의 산술 스킴에 대한 부족한 코homology 이론이 밀도가 높은 리프를 가진 폴로노미아 동역적 시스템의 축소된 리프별 코homology 를 통해 실현될 수 있는가?
• RQ2 해석적 수론의 명시적 공식이 폴로노미아 다양체 위의 횡방향 지수 정리와 어느 정도 일치하는가?
• RQ3 Cheeger–Müller 정리를 사용하여 Hasse–Weil zeta 함수의 특수값에 대한 Lichtenbaum의 추측의 동역적 유사체를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 파동 연산자의 스펙트럼 추적은 폴로노미아 공간에서 리만 zeta 함수의 비자명한 영점 분포를 어떻게 모델링하는가?
• RQ5 폴로노미아 다양체에서의 스펙트럼 분포의 특이 지지가 무한한 자리에서 유도되는 로그 항을 포함한 zeta 함수의 특이성과 일치하는가?

주요 결과

• 밀도가 높은 리프를 가진 폴로노미아 동역적 시스템의 축소된 리프별 코homology 는 위상적 성격이 아니라 해석적 성격을 띠며, 산술 스킴의 코homology 가 기대하는 성질을 반영한다.
• 폴로노미아 공간 $X$ 에서 ${\mathbb{R}}$-행동의 닫힌 궤도는 산술 스킴의 닫힌 점과 일대일 대응되며, 궤도 길이 $l(\gamma) = |\mathfrak{o}| \log p$ 는 $\log Nx$ 와 일치한다.
• 분포적 추적 $\mathrm{tr}(e^{it|\theta|} \mid \bar{H}^1_{{\mathcal{F}},(2)}(X))$ 는 $t = 0$ 과 $t = m \log p$ 에서 특이 지지를 가지며, zeta 영점에서 유도된 Cramér 함수의 특이성과 일치한다.
• 흐름의 무한소 생성자 $\theta$ 가 $\bar{H}^1_{{\mathcal{F}},(2)}(X)$ 에서 유도하는 스펙트럼 데이터, 특히 고유값 $\gamma$ 는 순수하게 허수이며 zeta 함수의 비자명한 영점에 대응한다.
• 리만 다양체에서 파동 연산자의 추적의 渐近 전개와 유사하게, $\mathrm{tr}(e^{it|\theta|} \mid \bar{H}^1_{{\mathcal{F}},(2)}(X))$ 의 푸리에 변환은 무한한 자리에서 유도되는 로그 항을 포함할 것으로 예상되며, Cramér 이론과 일관된다.
• Duistermaat–Guillemin 추적 공식은 비등장성의 경우에도 확장 가능하여, 흐름이 고정점을 가질 경우에도 스펙트럼 분포를 분석하는 데 강력한 프레임워크를 제공한다.