[논문 리뷰] Analogs of Cuntz algebras on $L^p$ spaces

N. Christopher Phillips|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 20.

Advanced Operator Algebra Research인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Leavitt 대수 $L_d$ 를 $L^p(X,\mu)$ 공간 위에 공간적 표현을 정의하여 $L^p$-공간에 대한 Cuntz 대수의 일반화인 $\mathcal{O}_d^p$ 를 도입한다. 고정된 $d$ 와 $p \neq 2$ 에 대해 이러한 모든 공간적 표현은 등장하는 바나흐 대수 $\mathcal{O}_d^p$ 를 등장적으로 동형으로 만든다. 또한 $p$-의존성이 강력함을 입증한다: $p_1 \neq p_2$ 일 때 $\mathcal{O}_{d_1}^{p_1}$ 과 $\mathcal{O}_{d_2}^{p_2}$ 사이에 영이 아닌 연속적 준동형사상이 존재하지 않으며, 이는 서로 다른 $L^p$-환경 간의 근본적인 비동형성을 드러낸다.

ABSTRACT

For $d = 2, 3, \ldots$ and $p \in [1, \infty),$ we define a class of representations $ρ$ of the Leavitt algebra $L_d$ on spaces of the form $L^p (X, μ),$ which we call the spatial representations. We prove that for fixed $d$ and $p,$ the Banach algebra ${\mathcal{O}_{d}^{p}}$ obtained as the closure of the image of $L_d$ under the representation $ρ$ is the same for all spatial representations $ρ.$ When $p = 2,$ we recover the usual Cuntz algebra ${\mathcal{O}}_{d}.$ We give a number of equivalent conditions for a representation to be spatial. We show that for distinct $p_1$ and $p_2$ in $[1, \infty)$ and arbitrary $d_1$ and $d_2$ in $\{ 2, 3, \ldots \},$ there is no nonzero continuous homomorphism from ${\mathcal{O}}_{d_1}^{p_1}$ to ${\mathcal{O}}_{d_2}^{p_2}.$

연구 동기 및 목표

• 고정된 $d$ 와 $p \in [1,\infty)$ 에 대해 $L^p$-공간에서 Cuntz 대수의 일반화를 정의하고 연구하는 것.
• 잘 정의된 $L^p$-일반화를 얻는 자연스러운 표현 클래스인 공간적 표현을 식별하는 것.
• 고정된 $d$ 와 $p \neq 2$ 에 대해 $L_d$ 의 모든 공간적 표현이 동일한 바나흐 대수 $\mathcal{O}_d^p$ 를 등장적으로 동형으로 만든다는 것을 증명하는 것.
• 강한 $p$-의존성 입증: $p_1 \neq p_2$ 일 때 $\mathcal{O}_{d_1}^{p_1}$ 과 $\mathcal{O}_{d_2}^{p_2}$ 사이에 영이 아닌 연속적 준동형사상이 존재하지 않음. 이는 $d_1, d_2$ 가 서로 다를 경우에도 성립함.
• 유한한 $d$ 에 초점을 맞춘 주요 결과에 비해 무한차원 Leavitt 및 Cohn 대수로 이론을 확장하는 것.

제안 방법

• 표준 생성자가 $L^p$-행 등위수의 일반화를 이루는 $L^p(X,\mu)$ 공간 위에서 Leavitt 대수 $L_d$ 의 공간적 표현을 정의한다.
• Lamperti의 정리를 사용하여 $L^p$-공간 위의 등위수를 측정 가능한 공간 간의 사상으로 유도되는 반공간적 형태로 특성화한다.
• 측정 가능한 집합의 불리안 $\sigma$-대수의 준동형사상에 기반한 $L^p$-공간 위의 반공간적 부분등위수 이론을 개발한다.
• 표현이 공간적임을 보장하는 등가 조건을 제시하며, 이는 수반과 $L^p$-함수 위에서의 작용을 포함한다.
• $L_d$ 의 모든 공간적 표현이 $L_d$ 위에서 동일한 노름을 유도함으로써, 이는 등장적으로 동형인 바나흐 대수 $\mathcal{O}_d^p$ 를 이룬다는 것을 증명한다.
• $L^p$-쌍대공간과 $\|a^\prime\| = \|a\|$ 이라는 사실을 이용한 딱딱한 대칭성 논증을 통해 $1/p + 1/q = 1$ 일 때 $\mathcal{O}_d^p$ 와 $\mathcal{O}_d^q$ 는 바나흐 공간으로서 등장적으로 반동형임을 보이며, 이는 $p \neq 2$ 일 때 바나흐 대수로서는 동형이 아니라는 점을 강조한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Leavitt 대수의 $L^p$-공간 위 표현 중에서 잘 정의된 Cuntz 대수의 일반화를 유도하는 자연스러운 표현 클래스를 정의하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 고정된 $d$ 와 $p \neq 2$ 에 대해 $L_d$ 의 모든 공간적 표현은 결과 바나흐 대수의 등장적으로 동형에 의해 동치가 되는가?
• RQ3 $p_1 \neq p_2$ 일 때 $\mathcal{O}_{d_1}^{p_1}$ 과 $\mathcal{O}_{d_2}^{p_2}$ 사이에 영이 아닌 연속적 준동형사상이 존재하지 않는 강한 $p$-의존성이 존재하는가?
• RQ4 공간적 표현과 $L^p$-공간 위의 반공간적 부분등위수 이론이 충분히 발전되어 유일성과 비동형성 결과를 증명할 수 있는가?
• RQ5 $L^p$-일반화된 Cuntz 대수들은 원래의 Cuntz 대수($p=2$)와 다른 $p$ 간에 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 고정된 $d$ 와 $p \in [1,\infty) \setminus \{2\}$ 에 대해, Leavitt 대수 $L_d$ 의 모든 공간적 표현은 등장적으로 동형인 바나흐 대수를 이룬다. 이를 $\mathcal{O}_d^p$ 로 표기한다.
• $\mathcal{O}_d^p$ 는 $L^p$-공간 위에서 $L_d$ 의 어떤 공간적 표현의 상의 노름 폐쇄와 등장적으로 동형이며, 이는 각 $d$ 와 $p \neq 2$ 에 대해 고유한 대상을 정의한다.
• 서로 다른 $p_1, p_2 \in [1,\infty)$ 와 임의의 $d_1, d_2 \in \{2,3,\ldots\}$ 에 대해 $\mathcal{O}_{d_1}^{p_1}$ 에서 $\mathcal{O}_{d_2}^{p_2}$ 로의 영이 아닌 연속적 준동형사상이 존재하지 않으며, 이는 강한 $p$-의존성을 보여준다.
• 이 결과는 $L_d$ 뿐 아니라 무한차원 Leavitt 대수 $L_\infty$ 와 Cohn 대수 $C_d$ 에 대해서도 성립하여, 비동형성 결과의 광범위한 적용 가능성을 시사한다.
• $1/p + 1/q = 1$ 일 때 $\mathcal{O}_d^p$ 와 $\mathcal{O}_d^q$ 는 바나흐 공간으로서 등장적으로 반동형이지만, $p \neq 2$ 일 때는 바나흐 대수로서는 동형이 아니며, 이는 바나흐 공간의 쌍대성에도 불구하고 대수적 동형이 성립하지 않음을 강조한다.
• $\mathcal{O}_{d_1}^{p_1}$ 과 $\mathcal{O}_{d_2}^{p_2}$ 사이에 영이 아닌 연속적 준동형사상이 존재하지 않는다는 증명은 딱딱한 대칭성 논증과 관련되며, $p_1 \neq p_2$ 일 때 공간적 표현이 $l^p(\mathbb{Z}_{>0})$ 에서 $L_\infty$ 에 대해 모순을 일으키므로 이러한 준동형사상이 존재할 수 없음을 보여준다.