[논문 리뷰] Analysis and controller-design of time-delay systems using TDS-CONTROL. A tutorial and manual

Pieter Appeltans, Wim Michiels|arXiv (Cornell University)|2023. 04. 29.

Stability and Control of Uncertain Systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다중 이산 지연을 가진 선형 정수 시간 시스템에 대한 분석 및 설계를 위한 MATLAB 패키지인 TDS-CONTROL을 제시한다. 이는 후행형, 중립형 및 서술자 형태를 지원하며, 스펙트럼 추축, H-무한대 노름, 그리고 가짜 스펙트럼 추축 계산을 통한 안정성 분석을 가능하게 하며, 스펙트럼 추축 또는 H-무한대 노름을 최소화하는 비연속, 비볼록 최적화 기반의 컨트롤러 설계를 제공한다. 또한 PID 및 분산 설계와 같은 구조적 컨트롤러 지원 기능을 포함한다.

ABSTRACT

TDS-CONTROL is an integrated MATLAB package for the analysis and controller-design of linear time-invariant (LTI) dynamical systems with (multiple) discrete delays, supporting both systems of retarded and neutral type. TDS-CONTROL is based on a state-space representations for these TDSs, although functionality is provided to obtain such a formulation from a frequency-domain description of the system. Firstly, the package offers various functionality for analyzing such systems, like methods for computing the spectral abscissa, the H-infinity norm, the pseudospectral abscissa, and the distance to instability. Furthermore, as TDS-CONTROL is designed with neutral time-delay systems in mind, it has the appealing feature that the sensitivity of certain quantities (such as the spectral abscissa) with respect to infinitesimal delay perturbations can explicitly be taken into account. Secondly, TDS-CONTROL also allows to design fixed-order dynamic output feedback controllers. The corresponding controller-design algorithms are based on minimizing the spectral abscissa, the H-infinity norm, or a combination of both with respect to the free controller parameters by solving a non-smooth, non-convex optimization problem. As a strictly negative spectral abscissa is a necessary and sufficient condition for stability, the presented design methods are thus not conservative. It is also possible to impose structure on the controller, enabling the design of decentralized and proportional-integral-derivative (PID) controllers. Furthermore, by allowing the plant to be described in delay descriptor form (i.e., the system's dynamics are given in terms of delay differential algebraic equations), acceleration feedback and Pyragas-type and delay-based controllers can also be considered.

연구 동기 및 목표

• 다중 이산 지연을 가진 선형 정수 시간 시스템에 대한 분석 및 컨트롤러 설계를 위한 종합적이고 통합된 MATLAB 툴박스 제공
• 후행형 및 중립형 시스템을 포함한 지연 미분 대수 방정식(DDAE)을 지원하여 제어 공학 분야에서의 적용 범위를 넓힘
• 구조적 불확실성 하에서의 안정성 거리 및 가짜 스펙트럼 추축 계산을 통한 강건성 분석 지원
• 스펙트럼 추축 및 H-무한대 노름의 비연속 최적화를 통한 고정 차수의 동적 출력 피드백 컨트롤러 설계 제공
• PID, 비례-적분-지연(PIR), 분산 컨트롤러와 같은 구조적 컨트롤러를 통합된 프레임워크 내에서 설계 가능하게 지원

제안 방법

• 패키지는 특성 다항식의 스펙트럼 기반 접근법을 사용하여 준다항식의 특성근을 계산함으로써 스펙트럼 추축 및 가짜 스펙트럼 추축을 통한 안정성 분석을 가능하게 한다.
• 관련 연산자의 고유값 분석 및 수치적 적분을 활용하여 시간지연 시스템의 H-무한대 노름을 계산한다.
• 컨트롤러 파ameter에 대해 스펙트럼 추축 또는 H-무한대 노름을 비연속, 비볼록 최적화함으로써 컨트롤러 설계를 수행한다.
• 패키지는 서술자 형태 모델링을 지원하여 가속도 피드백 및 Pyragas 유형 컨트롤러를 지연 서술자 시스템을 통해 포함시킬 수 있다.
• 불확실성 모델링은 tds_uncertain_matrix 및 tds_uncertain_delay 함수를 통해 구조적 편향(실수/복소수, 스펙트럼/프로베니우스 노름)을 활용하여 구현된다.
• 불안정성 거리는 tds_dins를 통해 에프실론-가짜 스펙트럼 추축을 이용하여 계산되며, 이는 파rametric 불확실성 하에서의 강건성 측도를 제공한다.

Figure 2.1 : The characteristic roots of ( 2.8 ) in the region $[-1.5,1]\times\jmath[-40,40]$ .

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 이산 지연을 가진 선형 시간지연 시스템의 안정성은 어떻게 효율적이고 정확하게 분석할 수 있는가?
• RQ2 중립형 시간지연 시스템에서 무한소 지연 변화가 스펙트럼 추축에 미치는 영향은 무엇이며, 이를 분석에 어떻게 반영할 수 있는가?
• RQ3 시간지연 시스템에서 스펙트럼 추축 또는 H-무한대 노름을 최소화하는 고정 차수의 동적 출력 피드백 컨트롤러는 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ4 구조적 파rametric 불확실성 하에서 시간지연 시스템의 강건성 마진(불안정성 거리)은 무엇인가?
• RQ5 최적화 기반 방법을 활용하여 PID 또는 분산 컨트롤러와 같은 구조적 컨트롤러를 시간지연 시스템에 어떻게 설계할 수 있는가?

주요 결과

• 패키지는 다중 지연을 가진 후행형 및 중립형 시간지연 시스템에 대해 스펙트럼 추축, H-무한대 노름, 가짜 스펙트럼 추축을 성공적으로 계산한다.
• 질량, 점성, 지연에 대한 불확실성이 있는 시스템의 경우, 불안정성 거리는 0.4125로 계산되어 상대 불확실성 마진 41.25% 이내에서 강건한 안정성을 보여준다.
• 불확실한 시스템에 대한 에프실론-가짜 스펙트럼 추축은 20.7022로 계산되어 허용 가능한 모든 불확실성 값에서 불안정함을 나타낸다.
• 최적화 과정 중 컨트롤러 파am터에 구조적 제약 조건을 도입함으로써 PID 및 분산 컨트롤러 설계를 지원한다.
• HANSO(버전 3.0)의 사용은 컨트롤러 설계에서 발생하는 비연속, 비볼록 최적화 문제의 신뢰성 있는 해를 가능하게 한다.
• 프레임워크는 지연 서술자 형태로 시스템을 모델링할 수 있게 하여, 가속도 피드백 및 지연 기반 컨트롤러를 설계 과정에 포함시킬 수 있다.

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