[논문 리뷰] Analysis and Design of Complex-Valued Linear Systems

Bin Zhou|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 17.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 상태 벡터와 그 켤레를 모두 포함하는 복소수 선형 시스템을 분석하고 설계하기 위한 새로운 프레임워크를 제안한다. 이는 이중행렬 이론을 사용하여 시스템을 등가의 실수 및 복소수 표현으로 변환한다. 주요 기여는 제어 가능성, 안정성, LQR, 관측기 설계를 포함한 포괄적인 분석 및 설계 도구들로, 이는 기존의 정상 및 반선형 시스템에 대한 결과들을 일반화하고 향상시킨다. 이 도구들은 이중행렬 방정식을 통해 표현된다.

ABSTRACT

This paper studies a class of complex-valued linear systems whose state evolution dependents on both the state vector and its conjugate. The complex-valued linear system comes from linear dynamical quantum control theory and is also encountered when a normal linear system is controlled by feedback containing both the state vector and its conjugate that can provide more design freedom. By introducing the concept of bimatrix and its properties, the considered system is transformed into an equivalent real-representation system and a non-equivalent complex-lifting system, which are normal linear systems. Some analysis and design problems including solutions, controllability, observability, stability, eigenvalue assignment, stabilization, linear quadratic regulation (LQR), and state observer design are then investigated. Criterion, conditions, and algorithms are provided in terms of the coefficient bimatrices of the original system. The developed approaches are also utilized to investigate the so-called antilinear system which is a special case of the considered complex-valued linear system. The existing results on this system have been improved and some new results are established.

연구 동기 및 목표

• 양자 제어 및 시스템 축소에서 자연스럽게 나타나는 상태와 그 켤레에 대해 직접적으로 의존하는 복소수 선형 시스템을 분석하기 위한 통합 프레임워크를 개발하는 것.
• 기존의 정상 및 반선형 시스템에 대한 결과를 확장하기 위해, 이중행렬 대수를 도입하여 복소수 시스템을 등가의 실수 및 복소수 표현으로 변환하는 것.
• 제어 가능성, 관측 가능성, 안정성, 고유값 할당, LQR, 관측기 설계와 같은 기본 제어 문제에 대해 명시적인 기준과 알고리즘을 제공하는 것. 이는 이중행렬 표현을 기반으로 한다.
• 기존의 반선형 시스템에 대한 결과를 향상시키고 일반화하기 위해, 이중행렬 방정식을 바탕으로 한 새로운 조건과 알고리즘을 수립하는 것.
• 2n차원 실수 시스템이 복소수 시스템으로의 차원 축소가 가능하다는 것을 보여주어, n차원 복소수 시스템에 켤레 항을 포함시켜 등가로 표현할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 시스템 동역학과 그 켤레 성분을 표현하기 위해 복소수 행렬의 쌍으로 정의된 이중행렬의 개념을 도입하여 대수적 연산을 가능하게 한다.
• 벡터화 및 크로네cker 곱 기법을 사용하여 원래의 복소수 시스템을 차원 2n인 등가의 실수 표현 시스템으로 변환한다.
• 시스템의 구조적 성질을 유지하면서 표준 복소수 선형 대수를 사용한 분석이 가능한, 차원 2n인 비등가의 복소 승화 시스템을 유도한다.
• 안정성 분석과 LQR 설계를 위해 각각 리아프노프 이중행렬 방정식과 이중행렬 대수 Riccati 방정식을 핵심 도구로 설정한다. 이는 시스템을 실수 및 복소수 형태로 승화함으로써 달성된다.
• 이중행렬 시스템의 실수 표현을 사용하여, 증강 행렬 블록의 질량 조건을 통해 탐지 가능성과 관측 가능성 조건을 정의함으로써 관측기 설계를 가능하게 한다.
• 실수 표현 안정성 기준을 사용하여 상태 피드백과 관측기 이득 이중행렬를 별도로 설계함으로써, 관측기 기반 상태 피드백에 대한 분리 원리를 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상태 및 켤레 상태에 의존하는 복소수 선형 시스템을 체계적으로 등가의 실수 및 복소수 시스템으로 변환하여 분석할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 이러한 시스템의 제어 가능성, 관측 가능성, 안정성에 대한 필요 및 충분 조건은 원래 시스템의 이중행렬 계수를 기반으로 어떻게 표현되는가?
• RQ3 이중행렬 기반 표현을 사용하여 이러한 시스템에 대해 고유값 할당, LQR, 상태 관측기 설계를 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법은 기존의 정상 및 반선형 시스템에 대한 결과를 어떻게 일반화하거나 향상시키는가?
• RQ5 이러한 유형의 시스템에 대해 관측기 기반 상태 피드백에 분리 원리가 적용될 수 있는가? 어떤 조건에서 가능한가?

주요 결과

• 이중행렬 승화를 통해 시스템이 차원 2n인 등가의 실수 표현 시스템으로 변환되며, 이는 표준 실수 선형 시스템 분석이 가능하게 한다.
• 제어 가능성과 관측 가능성은 이중행렬 계수를 포함하는 증강 행렬의 질량 조건으로 특징지어지며, 탐지 가능성은 실수 표현 시스템을 통해 정의된다.
• 안정성은 리아프노프 이중행렬 방정식을 통해 분석되며, 이는 쌍대 행렬 방정식과 동치이며, 점근적 안정성에 대한 필요 및 충분 조건을 제공한다.
• LQR 문제는 이중행렬 대수 Riccati 방정식을 사용하여 해결되며, 이는 복소수 시스템에 켤레 항을 포함하는 표준 대수 Riccati 방정식을 일반화한 것이다.
• 상태 관측기는 이중행렬 관측기 이득을 사용하여 설계되며, 실수 표현 시스템이 탐지 가능할 경우 수렴이 보장되며, 분리 원리가 확립된다.
• 제안된 프레임워크는 정상 및 반선형 시스템에 대한 기존 결과로 축소되며, 더 일반적이고 계산적으로 다룰 수 있는 조건을 제공함으로써 이를 향상시킨다.