[논문 리뷰] Analysis and Design of Strongly Stabilizing PID Controllers for Time-Delay Systems

Pieter Appeltans, Silviu‐Iulian Niculescu외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 07.

Extremum Seeking Control Systems참고 문헌 26인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 시간지연 시스템에서 PID 컨트롤러의 강한 안정성 개념을 도입하여, 피드백 지연 또는 유한차분 도함수 근사와 같은 무한소 변화에 대한 강건성을 보장한다. 충분히 높은 절곡 주파수를 갖는 저통과 필터를 추가하고 도함수 이득 행렬에 대한 대수적 조건을 만족시키면, 강한 안정성을 확보한 PID 컨트롤러를 설계할 수 있으며, 불확실성 하에서의 컨트롤러 이득 최적화를 위한 계산 절차도 제시된다.

ABSTRACT

This paper presents the analysis of the stability properties of PID controllers for dynamical systems with multiple state delays, focusing on the mathematical characterization of the potential sensitivity of stability with respect to infinitesimal parametric perturbations. These perturbations originate for instance from neglecting feedback delay, a finite difference approximation of the derivative action, or neglecting fast dynamics. The analysis of these potential sensitivity problems leads us to the introduction of a `robustified' notion of stability called \\emph{strong stability}, inspired by the corresponding notion for neutral functional differential equations. We prove that strong stability can be achieved by adding a low-pass filter with a sufficiently large cut-off frequency to the control loop, on the condition that the filter itself does not destabilize the nominal closed-loop system. Throughout the paper, the theoretical results are illustrated by examples that can be analyzed analytically, including, among others, a third-order unstable system where both proportional and derivative control action are necessary for achieving stability, while the regions in the gain parameter-space for stability and strong stability are not identical. Besides the analysis of strong stability, a computational procedure is provided for designing strongly stabilizing PID controllers. Computational case-studies illustrating this design procedure complete the presentation.

연구 동기 및 목표

• 피드백 지연이나 도함수 근사와 같은 무한소 모델링 오차에 대한 PID 제어 시간지연 시스템의 민감도 분석.
• 강한 안정성의 개념을 도입하고 형식화하여, 임의로 작은 변화에 대해 안정성을 유지함을 보장함. 이는 중립형 함수미분방정식에 영감을 받음.
• 노말 시스템을 불안정하게 만들지 않으면서도, 저통과 필터링을 통해 강한 안정성을 달성할 수 있는 조건 설정.
• 매개변수 불확실성과 지연에 대해 강건성을 보장하는 강한 안정성 PID 컨트롤러를 설계하기 위한 계산 알고리즘 개발.
• PID 출력 피드백을 갖는 MIMO, LTI 시간지연 시스템에 대한 강건 안정성 이론 프레임워크 확장.

제안 방법

• 임의로 작은 변화에 대해 불변성을 요구하는 새로운 안정성 개념인 강한 안정성 도입. 이는 컨트롤러의 도함수 작동에 대한 변화도 포함.
• 저통과 필터링이 강한 안정성을 유지하도록 하기 위해 도함수 이득 행렬 $K_d$ 에 대한 대수적 조건 유도.
• 스펙트럼 추축 최소화 프레임워크를 응용하여 컨트롤러 이득을 계산. 최적화를 위해 [30]의 정리 4.2를 활용한 명시적 기울기 계산.
• 시스템 행렬과 지연의 매개변수 불확실성을 다룰 수 있도록 설계 절차 수정. 악성 경우 안정성 마진으로서 가짜 스펙트럼 추축 사용.
• 특성 방정식을 행렬 행렬식 형태로 재구성하여, 불확실성 하에서 고유값의 수치적 계산 가능하게 함.
• 불확실성 집합 상에서 스펙트럼 및 가짜 스펙트럼 추축을 계산하기 위해 [29,30]의 방법을 수정한 버전 활용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PID 컨트롤러가 무한소 피드백 지연이나 도함수의 유한차분 근사로 인해 어떤 조건에서 안정성을 잃는가?
• RQ2 저통과 필터링을 통해 시간지연 시스템에서 강한 안정성을 달성할 수 있는가? 이 경우 도함수 이득에 어떤 조건이 필요하는가?
• RQ3 매개변수 불확실성 하에서 강한 안정성을 보장하는 PID 컨트롤러 이득을 체계적으로 찾기 위한 계산 절차는 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ4 지연과 시스템 행렬의 모델링 불확실성이 PID 컨트롤러의 안정성 영역에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 제안된 강한 안정성 개념은 기존의 w-안정성 또는 변화에 대한 강건성 개념과 어떻게 다를까? 어떻게 이를 확장하는가?

주요 결과

• 충분히 높은 절곡 주파수를 갖는 저통과 필터를 추가하고, 도함수 이득 행렬이 특정 대수적 조건을 만족하면 강한 안정성을 확보할 수 있다.
• PID 이득 매개변수 공간에서의 안정성 영역과 강한 안정성 영역은 동일하지 않으며, 이는 3차 불안정 시스템 예제에서 입증됨.
• 제안된 설계 절차는 불확실성 집합 상에서 가짜 스펙트럼 추축을 최소화하여 악성 경우 안정성 마진을 보장한다.
• 스펙트럼 추축의 컨트롤러 이득에 대한 기울기를 명시적으로 계산할 수 있어 효율적인 최적화가 가능하다.
• 이론적 결과는 분석적 예제를 통해 검증되었으며, 비례 제어와 도함수 제어가 모두 안정성을 확보하기 위해 필요한 3차 시스템의 경우를 포함.
• 알고리즘의 Matlab 구현 버전이 공개되어 있으며, 사례 연구 및 예제용 코드 포함.