[논문 리뷰] Analysis and geometry on marked configuration spaces

Sergio Albeverio, Yuri Kondratiev외 2명|ArXiv.org|2006. 08. 14.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 40인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 리만 다양체 $X$ 위의 리 군 $G$의 동차 공간 $M$ 에서의 표식을 가진 구성 공간 위에서 미분기하학 및 확률해석학 프레임워크를 수립한다. 자연적 그래เดียน트 $\nabla^\Omega$ 와 발산 $\operatorname{div}^\Omega$ 를 도입하고, 이들이 쌍대 연산자인 체적 원소로 혼합된 표식 포아송 측도가 되는 것을 증명한다. 주요 기여는 이러한 측도가 유도된 기하학에 대해 유일한 체적 원소임을 규명하고, 딜리클레 형식을 구성하며, 미분형태군 $\mathfrak{A}$ 와 스무스 $G$-값을 가진 전류의 표현을 수립하는 것이다.

ABSTRACT

We carry out analysis and geometry on a marked configuration space $Ω^M_X$ over a Riemannian manifold $X$ with marks from a space $M$. We suppose that $M$ is a homogeneous space $M$ of a Lie group $G$. As a transformation group $\frak A$ on $Ω_X^M$ we take the ``lifting'' to $Ω_X^M$ of the action on $X imes M$ of the semidirect product of the group $\operatorname{Diff}_0(X)$ of diffeomorphisms on $X$ with compact support and the group $G^X$ of smooth currents, i.e., all $C^\infty$ mappings of $X$ into $G$ which are equal to the identity element outside of a compact set. The marked Poisson measure $π_σ$ on $Ω_X^M$ with Lévy measure $σ$ on $X imes M$ is proven to be quasiinvariant under the action of $\frak A$. Then, we derive a geometry on $Ω_X^M$ by a natural ``lifting'' of the corresponding geometry on $X imes M$. In particular, we construct a gradient $ abla^Ω$ and a divergence $\operatorname{div}^Ω$. The associated volume elements, i.e., all probability measures $μ$ on $Ω_X^M$ with respect to which $ abla^Ω$ and $\operatorname{div}^Ω$ become dual operators on $L^2(Ω_X^M;μ)$, are identified as the mixed marked Poisson measures with mean measure equal to a multiple of $σ$. As a direct consequence of our results, we obtain marked Poisson space representations of the group $\frak A$ and its Lie algebra $\frak a$. We investigate also Dirichlet forms and Dirichlet operators connected with (mixed) marked Poisson measures.

연구 동기 및 목표

• 표식이 있는 구성 공간 $\Omega_X^M$ 에서의 미분기하학적 및 확률해석적 프레임워크를 개발하는 것. 여기서 $M$ 은 리 군 $G$ 의 동차 공간이다.
• 군 $\mathfrak{A} = \operatorname{Diff}_0(X) \ltimes G^X$ 의 작용을 $\Omega_X^M$ 에로 확장하고, 표식이 있는 포아송 측도 $\pi_{\widetilde{\sigma}}$ 가 이 작용에 대해 준불변임을 증명하는 것.
• 기저 공간 $X \times M$ 에서의 올림을 통해 $\Omega_X^M$ 에서 자연적 그래디언트 $\nabla^\Omega$ 와 발산 $\operatorname{div}^\Omega$ 를 정의하고, 관련된 체적 원소를 규명하는 것.
• 혼합 표식 포아송 측도가 $L^2(\Omega_X^M; \mu)$ 에서 $\nabla^\Omega$ 와 $\operatorname{div}^\Omega$ 가 쌍대 연산자임을 만족시키는 유일한 확률 측도임을 특성화하는 것.

제안 방법

• 군 $\mathfrak{A}$ 는 $\operatorname{Diff}_0(X)$ 와 $G^X$ 의 반직접곱으로 정의되며, $X \times M$ 에서 작용하고 구성 수준의 변환을 통해 $\Omega_X^M$ 에로 올려진다.
• 표식이 있는 포아송 측도 $\pi_{\widetilde{\sigma}}$ 는 $X \times M$ 에 정의된 라돈 측도 $\widetilde{\sigma}$ 를 사용하여 $\Omega_X^M$ 에 구성되며, $\widetilde{\sigma}(\{x\} \times M) = 0$ 이다.
• $\Omega_X^M$ 에서의 그래디언트 $\nabla^\Omega$ 와 발산 $\operatorname{div}^\Omega$ 는 리만 기하학적 구조를 기반으로 $X \times M$ 에서의 올림 절차를 통해 정의되며, 표식 포아송 그래디언트 $\nabla^{\mathrm{MP}}$ 와 연산자 $H^{X \times M}_{\widetilde{\sigma}}$ 를 사용한다.
• 기하학의 체적 원소 $\mu$ 는 평균 측도가 $\widetilde{\sigma}$ 와 비례하는 혼합 표식 포아송 측도로 규명되며, 이로 인해 $L^2(\mu)$ 에서 $\nabla^\Omega$ 와 $\operatorname{div}^\Omega$ 가 쌍대 연산자가 된다.
• 디리클레 형식은 $\mathcal{E}^{\mathrm{MP}}_{\pi_{\widetilde{\sigma}}, A}(F_1, F_2) = \int_{\Omega_X^M} (\nabla^{\mathrm{MP}}F_1, A \nabla^{\mathrm{MP}}F_2)_{L^2(\widetilde{\sigma})} \, \pi_{\widetilde{\sigma}}(d\omega)$ 로 구성되며, $A > 0$ 이다.
• 내재된 딜리클레 연산자 $H^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}}$ 는 $X \times M$ 에서의 $H^{X \times M}_{\widetilde{\sigma}}$ 의 제2량자화로 나타나며, $\mathcal{F}C^{\infty}_{\mathrm{p}}({\mathfrak{D}}_0, \Omega_X^M)$ 에서의 밀도 있는 정의역에서 $H^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}} = \nabla^{\mathrm{MP}*} H^{X \times M}_{\widetilde{\sigma}} \nabla^{\mathrm{MP}}$ 를 만족한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군 $\mathfrak{A} = \operatorname{Diff}_0(X) \ltimes G^X$ 가 $\Omega_X^M$ 에서 작용할 때 표식이 있는 포아송 측도 $\pi_{\widetilde{\sigma}}$ 는 준불변인가?
• RQ2 기저 공간 $X \times M$ 에서의 기하학을 올림함으로써 $\Omega_X^M$ 에서 자연적 미분기하학—특히 그래디언트 및 발산 연산자—를 구성할 수 있는가?
• RQ3 $\Omega_X^M$ 에서의 확률 측도 $\mu$ 는 어떤 경우에 $\nabla^\Omega$ 와 $\operatorname{div}^\Omega$ 가 $L^2(\Omega_X^M; \mu)$ 에서 쌍대 연산자가 되는가?
• RQ4 $\Omega_X^M$ 에서의 딜리클레 형식과 연산자는 기저 공간 $X \times M$ 에서의 그것들과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 내재된 딜리클레 연산자 $H^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}}$ 의 스펙트럼 성질은 무엇이며, 어떤 조건에서 본질적으로 자기수반이 되는가?

주요 결과

• 표식이 있는 포아송 측도 $\pi_{\widetilde{\sigma}}$ 는 군 $\mathfrak{A} = \operatorname{Diff}_0(X) \ltimes G^X$ 의 작용에 대해 $\Omega_X^M$ 에서 준불변이며, 표준 포아송 측도가 $\operatorname{Diff}_0(X)$ 에 대해 준불변임을 일반화한다.
• $\Omega_X^M$ 에서의 그래디언트 $\nabla^\Omega$ 와 발산 $\operatorname{div}^\Omega$ 는 $X \times M$ 에서의 올림을 통해 구성되며, $\mu$ 가 평균 측도가 $\widetilde{\sigma}$ 와 비례하는 혼합 표식 포아송 측도일 때에만 $L^2(\Omega_X^M; \mu)$ 에서 쌍대 연산자가 된다.
• $\Omega_X^M$ 에서의 내재된 딜리클레 연산자 $H^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}}$ 는 $X \times M$ 에서의 딜리클레 연산자 $H^{X \times M}_{\widetilde{\sigma}}$ 의 제2량자화로 규명되며, $\mathcal{F}C^{\infty}_{\mathrm{p}}({\mathfrak{D}}_0, \Omega_X^M)$ 에서 $H^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}} = \nabla^{\mathrm{MP}*} H^{X \times M}_{\widetilde{\sigma}} \nabla^{\mathrm{MP}}$ 를 만족한다.
• $H^{X \times M}_{\widetilde{\sigma}}$ 가 $\mathfrak{D}_0$ 에서 본질적으로 자기수반이라면, $H^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}}$ 는 $\mathcal{F}C^{\infty}_{\mathrm{b}}({\mathfrak{D}}_0, \Omega_X^M)$ 에서 본질적으로 자기수반이며, 이는 잘 정의된 마코프 과정을 보장한다.
• 전이 준군 $T^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}}(t) = \exp(-tH^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}})$ 는 $\varphi \in \mathfrak{D}_0$, $\varphi > -1$ 에 대해 $\exp(\langle \log(1+\varphi), \cdot \rangle)$ 형식의 함수에 대해 다음을 만족한다: \\ $T^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}}(t)\exp(\langle\log(1+\varphi),\cdot\rangle) = \exp\big{(}\langle\log(1+e^{-tH^{X\times M}_{\widetilde{\sigma}}}\varphi),\cdot\rangle - \langle(e^{-tH^{X\times M}_{\widetilde{\sigma}}}-\mathbf{1})\varphi\rangle_{\widetilde{\sigma}}\big{)}$.
• 결과들은 표식이 있는 포아송 공간 $\Omega_X^M$ 에서 군 $\mathfrak{A}$ 와 그 리 대수 $\mathfrak{a}$ 의 표현을 제공하며, 이는 이전의 비표식 사례 결과를 확장한다.