[논문 리뷰] Analysis of a chemo-repulsion model with nonlinear production: The continuous problem and unconditionally energy stable fully discrete schemes

Francisco Guillén‐González, María Ángeles Rodríguez‐Bellido외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 12.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비선형 생산 $u^p$ ($1<p<2$)를 가진 화학적 반발력 모델에 대해 조건부 에너지 안정성, 질량 보존성을 갖는 완전 이산 유한요소 스킴 세 가지를 제안한다. 정규화 및 변분 형식을 이용하여 저자들은 약한-강한 해의 존재성을 증명하고, 수치 시뮬레이션을 통해 스킴 US0와 USε가 에너지 감쇠를 유지하고 이산 에너지 부등식을 만족하는 것으로 밝혀졌으며, UVε는 정확한 에너지 의미에서 조건부 에너지 안정성이 없음에도 불구하고 다른 스킴보다 낮은 수치적 소산을 보였음을 확인하였다.

ABSTRACT

We consider the following repulsive-productive chemotaxis model: Let $p\in (1,2)$, find $u \geq 0$, the cell density, and $v \geq 0$, the chemical concentration, satisfying \begin{equation}\label{C5:Am} \left\{ \begin{array} [c]{lll} \partial_t u - Δu - abla\cdot (u abla v)=0 \ \ \mbox{in}\ Ω,\ t&gt;0,\\ \partial_t v - Δv + v = u^p \ \ \mbox{in}\ Ω,\ t&gt;0, \end{array} ight. \end{equation} in a bounded domain $Ω\subseteq \mathbb{R}^d$, $d=2,3$. By using a regularization technique, we prove the existence of solutions of this problem. Moreover, we propose three fully discrete Finite Element (FE) nonlinear approximations, where the first one is defined in the variables $(u,v)$, and the second and third ones by introducing ${\boldsymbolσ}= abla v$ as an auxiliary variable. We prove some unconditional properties such as mass-conservation, energy-stability and solvability of the schemes. Finally, we compare the behavior of the schemes throughout several numerical simulations and give some conclusions.

연구 동기 및 목표

• 비선형 생산 $u^p$ ($1<p<2$)를 갖는 화학적 반발력 모델에 대해 정규화 기법을 이용해 약한-강한 해의 존재성을 확립한다.
• 이산 수준에서 질량 보존성과 에너지 안정성을 유지하는 완전 이산 유한요소 스킴을 설계한다.
• 에너지 감쇠, 수치적 소산, 안정성 측면에서 세 스킴인 UVε, USε, US0의 수치적 성능을 비교한다.
• 정확한 에너지 함수 $\mathcal{E}_e(u,v)$ 및 그 이산 잔여항 $RE_e(u^n,v^n)$에 대한 스킴의 거동을 분석한다.
• $\varepsilon \to 0$ 일 때 정규화된 해 $u^n_\varepsilon$가 음이 아닌 극한으로 수렴하는 지를 조사한다.

제안 방법

• 비선형 지수 $p \in (1,2)$를 갖는 연속 문제에 대해 정규화 기법을 적용하여 약한-강한 해의 존재성을 증명한다.
• 세 가지 완전 이산 유한요소 스킴을 제안한다: 하나는 변수 $(u,v)$ 에서의 스킴이며, 나머지 두 스킴는 보조 변수 $\boldsymbol{\sigma} = \nabla v$ 를 도입한다.
• 변분 형식과 이산 에너지 추정을 이용하여 모든 스킴에 대해 조건부 해법 가능성과 질량 보존성을 증명한다.
• 적절한 메쉬 제약 조건 하에서 수정된 에너지 $\mathcal{E}^h_\varepsilon(u,v)$, $\mathcal{E}^h_\varepsilon(u,\boldsymbol{\sigma})$, $\mathcal{E}^h(u,\boldsymbol{\sigma})$ 에 대해 조건부 에너지 안정성을 확립한다.
• $\mathbb{P}_1$-연속 유한요소를 $v$ 에 대해 사용하고, $L^2$-노름에서 $\Pi^h(u^n_{\varepsilon-})$ 를 제어하기 위해 정규화 항 $\varepsilon$ 를 도입한다.
• 수치 시뮬레이션을 수행하며, $k=10^{-5}$, $h=1/25$, $p=1.4$, 초기 조건 $u_0 = 14\cos(2\pi x)\cos(2\pi y)+14.0001$, $v_0 = -14\cos(2\pi x)\cos(2\pi y)+14.0001$ 를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 생산 $u^p$ ($1<p<2$)를 갖는 화학적 반발력 모델은 약한-강한 해를 갖는가?
• RQ2 완전 이산 유한요소 스킴을 통해 조건부 에너지 안정성과 질량 보존성을 갖는 스킴를 구성할 수 있는가?
• RQ3 에너지 감쇠 및 수치적 소산 측면에서 스킴 US0, USε, UV, UVε는 어떻게 비교되는가?
• RQ4 스킴에 대해 이산 에너지 잔여항 $RE_e(u^n,v^n)$ 이 음이 아닌가? 이는 정확한 에너지에 대한 에너지 안정성을 나타내는가?
• RQ5 정규화된 해 $u^n_\varepsilon$ 는 $\varepsilon \to 0$ 일 때 비음성 및 수렴 측면에서 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 연속 문제에서는 비선형 지수 $p \in (1,2)$ 에 대해 정규화 기법을 통해 약한-강한 해의 존재성이 입증되었다.
• UVε 및 USε 스킴은 적절한 직각 메쉬 제약 조건 하에서 각각 수정된 에너지 $\mathcal{E}^h_\varepsilon(u,v)$ 및 $\mathcal{E}^h_\varepsilon(u,\boldsymbol{\sigma})$ 에 대해 조건부 에너지 안정성을 갖는다.
• US0 스킴은 메쉬 제약 조건 없이 $\mathcal{E}^h(u,\boldsymbol{\sigma})$ 에 대해 조건부 에너지 안정성을 갖는다.
• 수치 시뮬레이션 결과, 네 가지 스킴(UV, US0, UVε, USε) 모두 시간이 지남에 따라 에너지 $\mathcal{E}_e(u,v)$ 가 감소하는 경향을 보였다.
• US0 및 USε 스킴은 모든 $t_n$ 에 대해 $RE_e(u^n,v^n) \leq 0$ 를 만족하여 이산 에너지 안정성을 나타내었지만, UV 및 UVε 스킴은 일부 $t_n$ 에서 이 조건을 위반하였다.
• UVε 스킴은 US0 및 USε보다 낮은 수치적 소산을 보였고, UV보다 낮은 수치적 소스를 가지며, 정확한 에너지 의미에서 조건부 에너지 안정성이 없음에도 불구하고 수치적으로 더 정확한 것으로 나타났다.