[논문 리뷰] Analysis of a diffuse interface model of multispecies tumor growth

Mimi Dai, Eduard Feireisl외 3명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 28.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 세포 점착력에 의해 날카로운 경계면 대신 좁은 전이층을 갖는 다종류의 종양 성장에 대한 확산 경계 모델을 분석한다. 이는 캬인-힐리아드, 다르시, 이동, 반응-확산 방정식의 결합된 시스템에 대한 약한 해의 존재성을 확립하고, 확산 경계 매개변수 ε가 0으로 갈수록의 날카로운 경계면 극한으로의 수렴을 증명한다.

ABSTRACT

We consider a diffuse interface model for tumor growth recently proposed in [Y. Chen, S.M. Wise, V.B. Shenoy, J.S. Lowengrub, A stable scheme for a nonlinear, multiphase tumor growth model with an elastic membrane, Int. J. Numer. Methods Biomed. Eng., 30 (2014), 726-754]. In this new approach sharp interfaces are replaced by narrow transition layers arising due to adhesive forces among the cell species. Hence, a continuum thermodynamically consistent model is introduced. The resulting PDE system couples four different types of equations: a Cahn-Hilliard type equation for the tumor cells (which include proliferating and dead cells), a Darcy law for the tissue velocity field, whose divergence may be different from 0 and depend on the other variables, a transport equation for the proliferating (viable) tumor cells, and a quasi-static reaction diffusion equation for the nutrient concentration. We establish existence of weak solutions for the PDE system coupled with suitable initial and boundary conditions. In particular, the proliferation function at the boundary is supposed to be nonnegative on the set where the velocity ${\bf u}$ satisfies ${\bf u}\cdotν>0$, where $ν$ is the outer normal to the boundary of the domain. We also study a singular limit as the diffuse interface coefficient tends to zero.

연구 동기 및 목표

• 다양한 종류의 종양 성장에 대해 열역학적으로 일관된 확산 경계 모델에 대한 약한 해의 존재성을 확립하기 위해.
• 확산 경계 매개변수 ε → 0일 때의 특이 극한에서 모델의 거동를 분석하기 위해.
• 기계적 상호작용, 영양소 역학, 세포 증식/사멸을 하나의 PDE 시스템에 통합하기 위해.
• 다르시 속도장의 비영인 발산과 세포 확산에 대한 비자명한 경계 조건을 다루기 위해.
• 적절한 가정 하에 확산 경계 모델이 날카로운 경계면 극한으로 수렴하는 것을 엄밀히 정당화하기 위해.

제안 방법

• 세포 분율(증식 및 사망 세포 포함)에 대해 캬인-힐리아드 유형 방정식을 사용하여 확산 경계 모델을 수립하고, 코르테베그 힘을 포함한 다르시 유형의 속도 법칙과 결합한다.
• 생존 가능한 종양 세포를 위한 이동 방정식과 영양소 농도를 위한 준정적인 반응-확산 방정식을 도입한다.
• 증식이 허용되는 경계 조건은 속도장이 도메인 외부로 나가는 경우에만 적용되며, u·ν > 0 조건을 만족한다.
• 에너지 추정과 컴팩턴스 추론을 통해 확산 경계 매개변수에 대한 극한을 취한다.
• 약한 수렴과 일관된 유계성을 사용하여 특이 극한 ε → 0에서의 극한 시스템을 규명한다.
• 자유 에너지 함수 F의 엄격한 볼록성을 활용하여 고차항을 제어하고 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양한 세포 종류와 영양소 역학을 포함한 전체 확산 경계 종양 성장 모델에 대해 약한 해가 존재하는가?
• RQ2 확산 경계 두께가 0으로 갈수록 모델의 거동은 어떠한가?
• RQ3 특히 유동이 외부로 나가는 경우에 속도장과 세포 확산류는 어떻게 행동하는가?
• RQ4 특이 극한에서 시스템이 날카로운 경계면 모델과 엄밀히 연결될 수 있는가?
• RQ5 코르테베그 힘은 해의 정규성과 수렴에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 적절한 초기 및 경계 조건 하에서, 비음수 증식이 외부 유출 경계에서 허용되는 전체 PDE 시스템에 대해 약한 해의 존재성이 확립된다.
• 시스템은 전역 에너지 소산 법칙을 만족하여 열역학적 일관성을 보장한다.
• ε → 0일 때 특이 극한에서, 확산 경계 모델은 μ = F′(Φ)인 캬인-힐리아드 유형의 시스템으로 수렴하며, 속도장은 0으로 수렴한다.
• 극한 시스템은 에너지 항등식 d/dt ∫Ω F(Φ) dx + ∫Ω |∇xμ|² dx = 0을 만족하여 에너지 감쇠를 나타낸다.
• ∇xΦ와 εΔΦ에 대한 컴팩턴스 추론과 일관된 추정을 통해 근사 해의 수열 수렴을 보장한다.
• 극한 시스템은 자유 경계를 갖는 날카로운 경계면 모델에 해당하며, 종양 세포 분율 Φ는 비선형 이동도 항을 포함한 반응-확산 과정에 의해 진화한다.