[논문 리뷰] Analysis of a Sinclair-type domain decomposition solver for atomistic/continuum coupling

Max Hodapp|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 22.

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods참고 문헌 34인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 원자적/연속체 결합 문제에 대해 유한 도메인으로 일반화된 Sinclair 유형의 도메인 분할 해법을 제안하며, 이는 이산 경계 요소 방법과 융통성 있는 경계 조건을 조합함으로써 이루어진다. 일차원 문제에 대해 조건부 안정성을 입증하고, 전달 조건을 완화함으로써 수렴 속도를 가속화하며, 선형 및 비선형 문제에 대한 검증을 통해 기존의 교차 슈바르츠 방법보다 향상된 효율성을 보였다.

ABSTRACT

The "flexible boundary condition" method, introduced by Sinclair and coworkers in the 1970s, remains among the most popular methods for simulating isolated two-dimensional crystalline defects, embedded in an effectively infinite atomistic domain. In essence, the method can be characterized as a domain decomposition method which iterates between a local anharmonic and a global harmonic problem, where the latter is solved by means of the lattice Green function of the ideal crystal. This local/global splitting gives rise to tremendously improved convergence rates over related alternating Schwarz methods. In a previous publication (Hodapp et al., 2019, Comput. Methods in Appl. Mech. Eng. 348), we have shown that this method also applies to large-scale three-dimensional problems, possibly involving hundreds of thousands of atoms, using fast summation techniques exploiting the low-rank nature of the asymptotic lattice Green function. Here, we generalize the Sinclair method to bounded domains and develop an implementation using a discrete boundary element method to correct the infinite solution with respect to a prescribed far-field condition, thus preserving the advantage of the original method of not requiring a global spatial discretization. Moreover, we present a detailed convergence analysis and show for a one-dimensional problem that the method is unconditionally stable under physically motivated assumptions. To further improve the convergence behavior, we develop an acceleration technique based on a relaxation of the transmission conditions between the two subproblems. Numerical examples for linear and nonlinear problems are presented to validate the proposed methodology.

연구 동기 및 목표

• 무한 도메인을 대상으로 설계된 Sinclair 유형의 도메인 분할 방법을 원자적/연속체 결합 문제에서 유한 계산 도메인으로 확장하기 위해.
• 원격 영역 보정을 위한 이산 경계 요소 방법을 통해 전역 체적 메esh를 피하고 방법의 빠른 수렴을 유지하기 위해.
• 일차원 문제에서 물리적으로 타당한 가정 하에 조건부 안정성을 엄밀히 분석하여 입증하기 위해.
• 국소 비선형성과 전역 선형성 문제 간의 전달 조건에 대한 이완 기법을 사용하여 수렴 속도를 가속화하기 위해.
• 수치 예제를 통해 선형 및 비선형 문제에 대한 방법의 효과성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 원격 영역 조건을 충족시키기 위해 무한 도메인 해를 수정하기 위해 이산 경계 요소 방법(DBEM)을 사용하여 전역 선형 문제를 해결함으로써, Sinclair 방법을 유한 도메인으로 일반화한다.
• 국소/전역 분할 기법을 사용: 국소 문제는 완전히 원자적(비선형)이며, 전역 문제의 해법은 격자 그린 함수를 이용한다.
• 국소 비선형 문제와 전역 선형 문제 간의 고정점 반복을 구현하며, 하위영역 간 전달 조건을 포함한다.
• 전달 조건에 대한 이완 기법을 도입하여 수렴 속도를 가속화하고, 기존의 교차 슈바르츠 방법을 초월한다.
• 3차원 문제에서 수십만 개의 원자를 다룰 수 있도록, 점차 감소하는 격자 그린 함수의 저랭크 구조를 활용한 빠른 합산 기법을 적용하여 확장성 확보.
• LU 분해와 여인수 전개를 이용해 시스템 행렬의 역행렬을 유도하고 분석함으로써 안정성과 핵심 계수의 양성 입증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Sinclair 유형의 도메인 분할 해법은 빠른 수렴성과 안정성 특성을 유지하면서도, 유한 도메인으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 특히 시스템 행렬이 양의 정부호일 경우, 물리적으로 타당한 가정 하에 일차원 문제에서 방법이 조건부 안정성을 보장하는가?
• RQ3 안정성이나 정확도를 훼손하지 않으면서 수렴 속도를 어떻게 가속화할 수 있는가?
• RQ4 이산 경계 요소 방법은 전역 체적 메쉬 없이도 원격 경계 조건을 효과적으로 구현할 수 있는가?
• RQ5 완화된 전달 조건은 원자적/연속체 결합 문제에서 고정점 반복의 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 물리적으로 타당한 가정 하에 일차원 문제에서 방법이 조건부 안정성을 보이며, 시스템 행렬의 행렬 분석과 행렬식 한계를 통한 증명이 이루어졌다.
• 시스템 행렬의 역행렬 계수들이 양수임을 입증하여 반복적 해법의 잘 정의된 성질과 안정성을 보장한다.
• 이산 경계 요소 방법은 전역 체적 메쉬 없이도 원격 영역 조건을 효과적으로 구현하며, 계산 효율성을 유지한다.
• 완화된 전달 조건은 수렴 속도를 크게 향상시켜 기존의 교차 슈바르츠 방법을 뛰어넘는다.
• 수치 예제를 통해 선형 및 비선형 문제 모두에서 강력한 성능을 보이며, 이론적 수렴성과 안정성 결과를 확인한다.
• 격자 그린 함수의 저랭크 구조를 활용함으로써, 수십만 개의 원자를 포함하는 대규모 3차원 문제에 대해 효율적인 확장이 가능하다.