[논문 리뷰] Analysis of A Splitting Scheme for Damped Stochastic Nonlinear Schrödinger Equation with Multiplicative Noise

Jianbo Cui, Jialin Hong|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다중성 소음이 있는 감쇠된 스토크라스틱 비선형 슈뢰딩거 방정식을 위한 분할 스킴을 분석하며, 시간에 관계없이 강한 수준 1/2 및 약한 수준 1 수렴 속도를 증명한다. 분석은 충분한 감쇠 하에서 지수적 적분 가능성과 사전 추정을 바탕으로 하여, 비단조화 비선형성에 대해서도 안정성과 수렴성을 확립한다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate the damped stochastic nonlinear Schrödinger(NLS) equation with multiplicative noise and its splitting-based approximation. When the damped effect is large enough, we prove that the solutions of the damped stochastic NLS equation and the splitting scheme are exponential stable and possess some exponential integrability. These properties lead that the strong order of the scheme is $\frac 12$ and independent of time. Meanwhile, we analyze the regularity of the Kolmogorov equation with respect to the equation. As a consequence, the weak order of the scheme is shown to be twice the strong order and independent of time.

연구 동기 및 목표

• 다중성 소음이 있는 감쇠된 스토크라스틱 비선형 슈뢰딩거 방정식을 위한 시간 분할 수치 스킴을 개발하고 분석한다.
• 해당 스킴에 대해 시간에 관계없이 강한 수렴 수준 1/2 및 약한 수렴 수준 1을 확립한다.
• 충분한 감쇠 하에서 정확한 해와 수치 해의 지수적 안정성과 지수적 적분 가능성을 증명한다.
• 감쇠된 스토크라스틱 NLS와 관련된 콜모고로프 방정식의 정(regularity)을 분석하여 약한 수렴 속도를 도출한다.
• 비단조화적이고 리프시츠 조건을 만족하지 않는 비선형성으로의 수렴 결과를 확장한다. 이는 SPDE 문헌에서 덜 다뤄진 영역이다.

제안 방법

• 분할 스킴은 스토크라스틱 NLS를 선형(슈뢰딩거) 및 비선형(감쇠/소음) 하위 문제로 분해하여 시간 단계 동안 순차적으로 해결한다.
• 정확한 해와 수치 해의 지수적 적분 가능성은 [9, 정리 2.4]의 보조정리에 의해 확립되며, 이는 강한 오차 추정을 가능하게 한다.
• 충분히 큰 감쇠 계수 α 하에서 정확한 해와 분할 스킴에 대해 사전 추정과 지수적 안정성을 증명한다.
• 약한 수렴 수준은 감쇠된 스토크라스틱 NLS와 관련된 콜모고로프 방정식의 정(regularity)을 분석하여 유도되며, 지수적 적분 가능성과 해 흐름의 강한 연속성을 활용한다.
• 오차 항을 제어하기 위해 반군 이론과 확률 미적분학, 특히 이토의 공식 및 확률 적분의 경계를 사용한다.
• 오차는 세 개의 성분(W₁, W₂, W₃)으로 분해되어 각각 지수 감쇠와 모멘트 추정을 통해 유계로 제어되며, 이로써 수렴성이 입증된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중성 소음이 있는 감쇠된 스토크라스틱 NLS 방정식을 위한 분할 스킴의 강한 수렴 수준은 무엇인가?
• RQ2 동일한 스킴의 약한 수렴 수준은 무엇이며, 이는 시간 단계 크기에 의존하는가?
• RQ3 정확한 해가 지수적 안정성과 지수적 적분 가능성을 보이기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 콜모고로프 방정식의 정(regularity)은 수치 스킴의 약한 수렴 속도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 비단조화적이고 리프시츠 조건을 만족하지 않는 비선형성에 대해서도 수렴 속도는 시간에 관계없이 확립될 수 있는가?

주요 결과

• 분할 스킴의 강한 수렴 수준이 1/2로 증명되었으며, 이는 시간 단계 크기와 무관하다.
• 스킴의 약한 수렴 수준이 1로 입증되었으며, 이 결과 역시 시간에 관계없다.
• 충분히 큰 감쇠 계수 하에서 정확한 해와 수치 해 모두 지수적 안정성과 지수적 적분 가능성을 갖는다.
• 감쇠된 스토크라스틱 NLS와 관련된 콜모고로프 방정식은 약한 수렴 분석을 지원할 수 있을 정도의 충분한 정(regularity)을 갖는다.
• 약한 수렴에 대한 오차 추정은 세 성분(W₁, W₂, W₃)으로 분해되며, 각각 O(τ²)로 유계로 제어되고 합산되어 총 O(τ) 오차 bound를 도출한다.
• 초기 자료 u₀ ∈ ℍ⁴, 감쇠 계수 α ∈ ℍ⁴, 그리고 소음 연산자 Q¹ᐟ²가 유한한 ℒ₂⁴ 노름을 갖는다는 가정 하에서 분석이 성립한다.