[논문 리뷰] Analysis of Artificial Dissipation of Explicit and Implicit Time-Integration Methods

Philipp Öffner, Jan Glaubitz외 1명|King Abdullah University of Science and Technology Repository (King Abdullah University of Science and Technology)|2016. 09. 08.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 48인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 초구형 보존법칙에 대한 명시적 및 암시적 시간적분 방법에서 인위적 소산과 모달 필터링을 분석하며, 암시적 방법의 내재된 소산을 모방함으로써 명시적 방법의 안정성을 높일 수 있음을 보여준다. 주요 기여는 명시적 시간적분에서 이산 $\mathbf{L}_2$-노름 보존을 보장하는 증명 가능하게 안정된 에너지 보존형 적응형 필터링 절차를 제안하는 것이다. 이는 고차수 방법을 사용할 때도 안정적인 장기 시뮬레이션을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Stability is an important aspect of numerical methods for hyperbolic conservation laws and has received much interest. However, continuity in time is often assumed and only semidiscrete stability is studied. Thus, it is interesting to investigate the influence of explicit and implicit time integration methods on the stability of numerical schemes. If an explicit time integration method is applied, spacially stable numerical schemes for hyperbolic conservation laws can result in unstable fully discrete schemes. Focusing on the explicit Euler method (and convex combinations thereof), undesired terms in the energy balance trigger this phenomenon and introduce an erroneous growth of the energy over time. In this work, we study the influence of artificial dissipation and modal filtering in the context of discontinuous spectral element methods to remedy these issues. In particular, lower bounds on the strength of both artificial dissipation and modal filtering operators are given and an adaptive procedure to conserve the (discrete) $\mathbf{L}_2$ norm of the numerical solution in time is derived. This might be beneficial in regions where the solution is smooth and for long time simulations. Moreover, this approach is used to study the connections between explicit and implicit time integration methods and the associated energy production. By adjusting the adaptive procedure, we demonstrate that filtering in explicit time integration methods is able to mimic the dissipative behavior inherent in implicit time integration methods. This contribution leads to a better understanding of existing algorithms and numerical techniques, in particular the application of artificial dissipation as well as modal filtering in the context of numerical methods for hyperbolic conservation laws together with the selection of explicit or implicit time integration methods.

연구 동기 및 목표

• 초구형 보존법칙에 대해 공간적으로 안정적인 스킴에서 명시적 시간적분이 유도하는 불안정성을 조사하기 위해.
• 완전 이산 스킴을 안정화하는 데 있어 인위적 소산과 모달 필터링의 역할을 분석하기 위해.
• 명시적 시간적분에서 이산 $\mathbf{L}_2$-노름을 보존하는 적응형 필터링 절차를 유도하기 위해.
• 암시적 방법의 소산 행동과 적응형 필터링을 적용한 명시적 방법 사이의 연결 고리를 설정하기 위해.
• 일반 룬게-쿠타 방법에 대해 명시적 오일러 단계의 볼록 조합을 통해 분석을 확장하기 위해.

제안 방법

• 반드시 반연속 안정성을 보장하기 위해, 합성-통합(SBP) 연산자를 사용한 유량 재구성(FR) 방법을 사용한다.
• 명시적 오일러 및 일반 룬게-쿠타 시간적분기의 에너지 균형을 분석하며, 에너지 증가를 유도할 수 있는 $(\Delta t)^2$ 항을 식별한다.
• 에너지 부족을 기반으로 강도 $\varepsilon$를 추정하는 적응형 모달 필터를 유도하여 노름 증가를 방지한다.
• 모달 레지나 다이어그램 기반을 사용하여 필터를 $\sum_{n=0}^{p} \exp[-2\varepsilon \lambda_n^s] u_{+,n}^2 \|\varphi_n\|^2 \leq \text{RHS}$ 로 표현한다.
• 에너지 감소를 보장하기 위해 $\varepsilon$의 하한을 다음과 같이 설정한다: $\varepsilon \geq \left( \|\underline{u}_+\|_M^2 - \|\underline{u}_0\|_M^2 - 2\Delta t \sum b_i \langle \underline{u}_i, \partial_t \underline{u}_i \rangle_M \right) \left( \sum 2\lambda_n^s \tilde{u}_{+,n}^2 \|\varphi_n\|^2 \right)^{-1}$.
• 불연속 스펙트럼 요소 방법에 이 방법을 적용하고, 암시적 방법의 소산을 명시적 스킴에서 모방할 수 있음을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 명시적 시간적분은 왜 공간적으로 안정적인 스킴에서 비물리적 에너지 증가를 유도하는가?
• RQ2 명시적 시간적분을 안정화하기 위해 필요한 최소한의 인위적 소산 또는 모달 필터링 강도는 무엇인가?
• RQ3 명시적 스킴에서 모달 필터링은 암시적 시간적분의 안정성 특성을 재현할 수 있는가?
• RQ4 적응형 필터링을 통해 장기 시뮬레이션 중 이산 $\mathbf{L}_2$-노름을 어떻게 보존할 수 있는가?
• RQ5 명시적 오일러 단계의 볼록 조합을 통해 일반 룬게-쿠타 방법으로 이 적응형 필터링 절차가 얼마나 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 명시적 시간적분의 에너지 균형에서 나타나는 $(\Delta t)^2$ 항은 비물리적 에너지 증가를 유도할 수 있으며, 이는 공간적으로 안정적인 스킴을 불안정하게 만들 수 있다.
• 이산 $\mathbf{L}_2$-노름이 시간이 지남에 따라 유지되거나 감소하도록 보장하기 위해 필터 강도 $\varepsilon$에 대한 하한을 도출하였다.
• 적응형 모달 필터링은 암시적 시간적분 방법의 내재된 소산을 명시적 스킴에서 효과적으로 모방하여 장기적인 안정적 시뮬레이션을 가능하게 하였다.
• 제안된 필터링 절차는 명시적 오일러에 효과적이며, 명시적 오일러 단계의 볼록 조합을 통해 일반 룬게-쿠타 방법으로도 확장 가능하다.
• 비선형 해법이 필요 없이 에너지 안정성을 확보하며, 명시적 방법의 효율성과 암시적 방법의 강건성을 결합한다.
• 수치적 증거는 적응형 필터가 장기간의 시간적분 중에도 매끄러운 영역에서 $\mathbf{L}_2$-노름을 허용 가능한 범위 내에 유지함을 확인한다.