[논문 리뷰] Analysis of constraints in light-cone version of SU(2) Yang-Mills mechanics

Vladimir P. Gerdt, A. Khvedelidze외 1명|ArXiv.org|2002. 09. 13.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 공간적으로 균일한 게이지 장을 가진 SU(2) 양-밀스 역학의 빛의 원추 형태를 컴퓨터 대수(마플)와 디랙-그뢰브너 알고리즘을 사용하여 분석하여 약속을 계산하고 분류한다. 8개의 제1류 약속과 4개의 제2류 약속으로 이루어진 혼합 시스템을 발견하였으며, 이는 물리적 자유도를 4개로 감소시킨다. 또한, 게이지 구조와 약속 계층의 차이로 인해 빛의 원추 모델이 인스턴트 형태와 캐노니컬하게 동치가 아니라는 것을 입증한다.

ABSTRACT

We study the classical dynamics of mechanical model obtained from the light-cone version of SU(2) Yang-Mills field theory under the supposition of gauge potential dependence only on ``time'' along the light-cone direction. The computer algebra system Maple was used strongly to compute and separate the complete set of constraints. In contrast to the instant form of Yang-Mills mechanics the constraints here represent a mixed form of first and second-class constraints and reduce the number of the physical degrees of freedom up to four canonical one.

연구 동기 및 목표

• 공간적으로 균일한 필드를 가진 빛의 원추 게이지에서 SU(2) 양-밀스 역학의 일반화된 해밀토니안 역학을 연구하기 위해.
• 빛의 원추 형태의 비가역 해밀토니안 구조에서 발생하는 전체 약속의 집합을 계산하고 분류하기 위해.
• 게이지 불변성과 약속 분류의 차이에 초점을 맞춰 빛의 원추 모델과 양-밀스 역학의 인스턴트 형태를 비교하기 위해.
• 마플 패키지를 통해 디랙-그뢰브너 알고리즘을 구현하고 적용하여 제1류 및 제2류 약속을 체계적으로 유도하고 분리하기 위해.
• 물리적 자유도와 제1류 약속에 의해 생성된 게이지 군의 대수적 구조를 규명하기 위해.

제안 방법

• 게이지 장이 빛의 원추 시간 $x^+$에만 의존한다고 가정하여 빛의 원추 양-밀스 라그랑지안을 수립함으로써 유한 차원의 기계적 시스템을 도출한다.
• 비가역 시스템에 일반화된 해밀토니안 체계를 적용하여 헤시안의 영이 되는 조건에서 주요 약속과 2차 약속을 유도한다.
• 마플 기반의 디랙-그뢰브너 알고리즘을 사용하여 12개의 대수적으로 독립적인 약속 전체를 제1류 및 제2류 집합으로 계산하고 분리한다.
• 약속 표면에서의 파울리 브라켓 행렬을 활용하여 랭크(4)를 결정하고, 약속을 분류함: 제1류 8개, 제2류 4개.
• 다변수 다항식 나눗셈과 확장 그뢰브너 기저 기법을 사용하여 제1류 약속의 파울리 브라켓을 계산함으로써 게이지 대수를 구성하고, 구조 상수를 유도한다.
• 다항식 나눗셈에서 잔여항이 0이 되는지 확인하고 필요에 따라 확장 그뢰브너 기저 알고리즘을 적용하여 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간적으로 균일한 필드를 가진 SU(2) 양-밀스 역학의 빛의 원추 형태에서 전체 약속 집합은 무엇인가?
• RQ2 빛의 원추 모델의 제1류 및 제2류 약속은 양-밀스 역학의 인스턴트 형태와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 빛의 원추 SU(2) 양-밀스 기계적 모델에서 물리적 자유도의 수는 얼마인가?
• RQ4 제1류 약속에 의해 생성된 게이지 대수는 어떻게 구성되어 있으며, 알고리즘적으로 계산될 수 있는가?
• RQ5 약속 분류와 게이지 구조의 차이로 인해 빛의 원추 형태가 인스턴트 형태와 캐노니컬하게 동치가 아니냐?

주요 결과

• 전체 약속 집합은 12개의 대수적으로 독립적인 관계로 이루어져 있다: 여섯 개의 $\theta^{(1)}_a$, 두 개의 $\theta_k$, 여섯 개의 $\theta^{(2)}_a$, 그리고 네 개의 독립적인 $\theta^{b}_{k\bot}$로 구성되며, 후자의 두 개의 약속은 상호 의존적이다.
• 약속 행렬의 랭크는 4이며, 이는 4개의 제2류 약속과 8개의 제1류 약속을 의미하며, 이는 물리적 자유도를 4개로 감소시킨다.
• 8개의 제1류 약속은 $\varphi^{(1)}_a$, $\psi_k$, $\varphi^{(2)}_a$로 식별되며, $\chi^{a}_{k\bot}$의 네 개의 독립적 조합이 제2류 집합을 이룬다.
• 제1류 약속에 의해 생성된 게이지 대수는 닫혀 있으며 알고리즘적으로 계산 가능하다: 파울리 브라켓 $\{\phi_r, \phi_s\}$은 제1류 약속에 대해 구조 상수 $c^q_{rs}$를 생성하며, 이는 닫혀 있다.
• 구조 상수 $c^q_{rs}$는 다변수 다항식 나눗셈을 사용하여 알고리즘적으로 유도되었으며, 그뢰브너 기저 축소를 통해 검증되었으며, 나눗셈 알고리즘이 정확한 관계식 (38)–(41)을 성공적으로 도출하였다.
• 게이지 구조와 약속 계층의 차이로 인해 빛의 원추 모델은 인스턴트 형태와 캐노니컬하게 동치가 아니며, 제1류 및 제2류 약속의 혼합된 구조가 그 이유이다.