[논문 리뷰] Analysis of Difficulty Control in Bitcoin and Proof-of-Work Blockchains

Daniel Fullmer, A. Stephen Morse|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 27.

Blockchain Technology Applications and Security참고 문헌 5인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 비트코인 및 작업증명 블록체인의 블록 도착 시간을 위한 확률적 모델을 제안하며, 이는 이전 블록 도착 시간에 따라 의존하는 랜덤 변수로 곤란도를 명시적으로 모델링한다. 블록 도착 시간의 주변 분포가 Lomax 분포임을 도출하며, 기대 블록 도착 시간은 $\frac{\theta_n}{N-1}$ 이고 분산은 $\frac{\theta_n^2 N}{(N-1)^2(N-2)}$ 임을 보여주며, 핵심 통찰은 일정한 해시레이트 조건에서도 리타겟팅 규칙로 인해 블록 도착 시간이 $N/(N-1)$ 배 빨라진다는 것이다.

ABSTRACT

This paper presents a stochastic model for block arrival times based on the difficulty retargeting rule used in Bitcoin, as well as other proof-of-work blockchains. Unlike some previous work, this paper explicitly models the difficulty target as a random variable which is a function of the previous block arrival times and affecting the block times in the next retargeting period. An explicit marginal distribution is derived for the time between successive blocks (the blocktime), while allowing for randomly changing difficulty. This paper also aims to serve as an introduction to Bitcoin and proof-of-work blockchains for the controls community, focusing on the difficulty retargeting procedure used in Bitcoin.

연구 동기 및 목표

• 비트코인 및 유사한 작업증명 블록체인에서 동적 곤란도 리타겟팅 규칙을 고려한 블록 도착 시간을 위한 확률적 모델을 개발하는 것.
• 과거 블록 도착 시간에 따라 의존하는 랜덤 변수로 곤란도 목표를 명시적으로 모델링하여 시스템 내 피드백 루프를 포착하는 것.
• 이 확률적 모델 하에서 블록 도착 시간의 주변 분포, 기대값, 분산을 도출하는 것.
• 특히 곤란도 조정 메커니즘에 초점을 맞춘 제어 이론 분석을 위한 기초를 제공하는 것.
• 모델의 분석 결과를 시뮬레이션과 비교하여 다양한 네트워크 조건 하에서 모델의 정확도를 검증하는 것.

제안 방법

• 블록 도착 시간을 이중 확률적 포아송 과정으로 모델링하며, 강도가 곤란도 리타겟팅 규칙에 따라 이전 블록 도착 시간에 따라 달라지도록 한다.
• 곤란도 조정 기간을 $N=2016$ 블록으로 정의하며, 실제 경과 시간에 따라 매 $N$ 블록마다 곤란도를 갱신한다.
• 각 리타겟팅 간격 동안의 평균 해시레이트 $\bar{\lambda}_n$ 를 지수 분포의 $N$개 합으로 유도한 에르랑 분포로 모델링한다.
• 이중 분포 이론을 적용하여, $n>1$ 인 경우 블록 도착 시간 $X_{(n-1)N+k}$ 의 주변 분포를 도출하며, 이는 랜덤 비율 파rameter를 갖는 에르랑 분포에서 유래한 지수 분포의 복합화이다.
• 복합 분포 이론을 적용하여, 결과 주변 분포가 형상 $N$ 과 척도 $\theta_n = \frac{\delta_n}{\beta}$ 를 갖는 Lomax 분포임을 보여준다.
• Lomax 분포의 성질을 활용하여, 확률적 곤란도를 고려한 블록 도착 시간의 기대값과 분산을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비트코인의 곤한도 리타겟팅 규칙은 블록 도착 시간의 통계적 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 과거 블록 도착 시간에 기반한 동적 곤한도 조정이 이루어질 경우, 블록 도착 시간의 주변 분포는 어떻게 되는가?
• RQ3 고정 곤한도 모델과 비교했을 때, 확률적 곤한도 조정 하에서 블록 도착 시간의 기대값과 분산은 어떻게 변화하는가?
• RQ4 리타겟팅 기간 $N$ 이 블록 도착 시간의 안정성과 예측 가능성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 모델의 분석 예측은 시뮬레이션된 블록 도착 패턴과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• $n>1$ 인 경우 블록 도착 시간 $X_{(n-1)N+k}$ 의 주변 분포는 형상 $N$ 과 척도 $\theta_n = \frac{\delta_n}{\beta}$ 를 갖는 Lomax 분포이며, 이는 랜덤 비율 파rameter를 갖는 에르랑 분포에서 유래한 지수 분포의 복합화로부터 도출된다.
• 기대 블록 도착 시간은 $\mathbb{E}[X_{(n-1)N+k}] = \frac{\theta_n}{N-1} = \frac{N}{(N-1)\delta_n}\beta$ 이며, 일정한 해시레이트 조건에서도 목표값 $\beta$ 보다 $\frac{N}{N-1}$ 배 빨라진다.
• 블록 도착 시간의 분산은 $\mathrm{Var}[X_{(n-1)N+k}] = \frac{\theta_n^2 N}{(N-1)^2(N-2)} = \frac{N^3}{(N-1)^2(N-2)\delta_n^2}\beta^2$ 이며, $N=2$ 일 경우 Lomax 분포의 무한 분산으로 인해 발산한다.
• 비트코인에서 사용하는 $N=2016$ 인 경우 기대 블록 도착 시간은 $\beta$ 와 매우 유사하며, $\frac{N}{N-1} \approx 1.000496$ 이므로 높은 안정성을 나타낸다.
• 시뮬레이션 결과는 $N=2$ 와 같이 작은 $N$ 인 경우 곤한도 조정 알고리즘이 성능이 열 劣하다는 것을 확인하며, 이는 분산이 무한대이고 블록 도착 시간이 극도로 변동성이 크기 때문이다.
• 모델은 표준 비트코인 리타겟팅 규칙이 해시레이트가 일정한 조건에서도 곤한도 갱신 과정의 확률적 성격으로 인해 블록 도착 시간에 내재된 통계적 변동성을 드러낸다.