[논문 리뷰] Analysis of energetic models for rate-independent materials

Alexander Mielke|arXiv (Cornell University)|2003. 05. 01.

Shape Memory Alloy Transformations참고 문헌 12인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 에너지 저장 및 소산 함수를 정의하는 에너지 모델을 사용하여 비속도 의존 재료에 대한 추상적 존재 이론을 개발한다. 시간 이산화된 최소화를 통해 해를 확립하고, 강성 조건과 컴팩트성 조건 하에서 존재성을 증명하며, 형태 기억 합금, 접착 제거, 유한 변형률 플라스티시티와 같은 응용에 이 프레임워크를 적용한다.

ABSTRACT

We consider rate-independent models which are defined via two functionals: the time-dependent energy-storage functional $\calI:[0,T] i X o [0,\infty]$ and the dissipation distance $\calD:X i X o[0,\infty]$. A function $z:[0,T] o X$ is called a solution of the {energetic model}, if for all $0\leq s

연구 동기 및 목표

• 에너지 형식에 의해 지배되는 비속도 의존 시스템의 일반적 존재 이론을 확립하기 위해.
• 복잡한 내부 변수를 가진 재료에서 비볼록성 및 비연속성 소산의 과제를 다루기 위해.
• 상변화, 손상, 플라스티시티와 같은 다양한 재료 거동에 적용 가능한 통합 프레임워크를 제공하기 위해.
• 바나흐 공간에서 강성과 컴팩트성 조건을 활용하여 약한 정규성 가정 하에 해의 존재를 보장하기 위해.
• 연속적이거나 볼록한 설정을 초월하여 에너지 모델의 적용 범위를 확장하여 복잡한 연속체역학 문제에 활용 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 미분 포함을 대체하여 국소 안정성(S)과 에너지 부등식(E)을 통한 비속도 의존 진화를 수립하기 위해.
• 시간을 이산화하고 단계별 최소화 문제를 해결하기 위해: 각 단계에서 $\mathcal{I}(t_k, z) + \mathcal{D}(z_{k-1}, z)$ 를 최소화한다.
• 소산 거리 $\mathcal{D}$ 를 통해 해 경로의 유한 변동성(BV) 한계를 확립하기 위해.
• 강성 조건 $\mathcal{I}(t,z) \geq c_1\|z\|_Y^\alpha - C_1$ 을 사용하여 컴팩트성 확보하기 위해, 여기서 $Y \subset X$ 는 컴팩트 임베딩이다.
• 추상 이론을 세 가지 물리적 응용에 적용하기 위해: 형태 기억 합금, 접착 제거, 유한 변형률 플라스티시티.
• 제거 문제에 대해 $\mathcal{D}(z_0,z_1) = c_D \int_\Gamma (z_0 - z_1)^+ \, da$ 를 정의하여 영구적인 접착 고장 모델링하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에너지 함수의 미분 가능성 또는 볼록성 조건 없이도 비속도 의존 시스템에 대한 일반적 존재 이론을 개발할 수 있는가?
• RQ2 플라스티시티나 균열과 같은 경우처럼 비볼록성, 비연속성 소산을 가진 시스템의 해는 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 무한차원 공간에서 시간 이산화 해의 컴팩트성과 수렴성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 상태, 손상, 플라스티시티 변형과 같은 내부 변수를 가진 재료에 에너지 형식을 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ5 플라스티시티에서의 내부 변수 공간 기하학(예: 리 군)이 해의 존재성과 구조에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 에너지 함수가 비볼록성 또는 비미분 가능성일지라도 강성 조건과 컴팩트 임베딩 조건 하에서 에너지 모델의 해가 존재함을 입증함.
• 시간 이산화 단계별 최소화 스킴은 총 변동성이 소산 기능으로 제어되는 상태의 수열을 생성함.
• 접착 제거 문제에서 에너지 함수 $\mathcal{I}(t,z)$ 는 $L^1(\Gamma)$ 에서 s-약한 연속성을 가지며, 이는 정리 3.3에 의해 존재성을 보장함.
• 유한 변형률 플라스티시티에서 소산 거리는 $\mathrm{SL}(d)$ 에서 좌변이 불변하며, 로그적 행동과 강한 기하학적 비볼록성을 유도함.
• 감소된 에너지 밀도 $\Psi^{\mathrm{red}}$ 가 준연속적이지 않을 경우 단계별 최소화 문제에서 최소화자가 도달되지 않을 수 있으며, 이 경우 이완 기법이 필요함.
• 형태 기억 합금에 대해 단계 지표 변수를 통해 이 프레임워크가 적용되며, 리 군 내부 변수를 가진 탄소-플라스틱성에도 적용 가능함으로써 광범위한 적용 가능성을 입증함.