[논문 리뷰] Analysis of Energy-Based Blended Quasicontinuum Approximations

Brian Van Koten, Mitchell Luskin|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 12.

Microstructure and mechanical properties참고 문헌 35인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 k-원자 인터페이스 영역에서 원자모델과 코시-본 연속모델을 부드럽게 조합하는 블렌디드 퀀티스컨티누움 에너지(BQCE) 방법을 제안한다. 이는 격자 불안정성 근처에서 고스트력과 정확도를 개선하기 위해 고안되었다. 다음근접원자 상호작용이 있는 1차원 체인의 경우, 최적화된 블렌딩 함수를 사용하면 ℓ² 변형 에러가 k³ᐟ² 배 감소하고 임계 변형 에러는 k² 배 감소하여, 균열이나 결함 형성 근처에서 정확도가 크게 향상된다.

ABSTRACT

The development of patch test consistent quasicontinuum energies for multi-dimensional crystalline solids modeled by many-body potentials remains a challenge. The original quasicontinuum energy (QCE) has been implemented for many-body potentials in two and three space dimensions, but it is not patch test consistent. We propose that by blending the atomistic and corresponding Cauchy-Born continuum models of QCE in an interfacial region with thickness of a small number $k$ of blended atoms, a general quasicontinuum energy (BQCE) can be developed with the potential to significantly improve the accuracy of QCE near lattice instabilities such as dislocation formation and motion. In this paper, we give an error analysis of the blended quasicontinuum energy (BQCE) for a periodic one-dimensional chain of atoms with next-nearest neighbor interactions. Our analysis includes the optimization of the blending function for an improved convergence rate. We show that the $\ell^2$ strain error for the non-blended QCE energy (QCE), which has low order $ ext{O}(ε^{1/2})$ where $ε$ is the atomistic length scale, can be reduced by a factor of $k^{3/2}$ for an optimized blending function where $k$ is the number of atoms in the blending region. The QCE energy has been further shown to suffer from a O$(1)$ error in the critical strain at which the lattice loses stability. We prove that the error in the critical strain of BQCE can be reduced by a factor of $k^2$ for an optimized blending function, thus demonstrating that the BQCE energy for an optimized blending function has the potential to give an accurate approximation of the deformation near lattice instabilities such as crack growth.

연구 동기 및 목표

• 다차원에서 다체계 잠재에너지에 대해 에너지 기반 퀀티스컨티누움 방법의 패치 테스트 일致성 부족 문제를 해결하기 위해.
• 고스트력과 격자 불안정성(예: 결함 형성 및 균열 성장) 근처의 정확도를 향상시키기 위해.
• 에너지 기반 수식을 유지하면서도 더 나은 수렴성과 안정성을 확보하는 블렌디드 퀀티스컨티누움 에너지(BQCE)를 개발하기 위해.
• 경계 영역의 블렌딩 함수를 최적화하여 변형 및 임계 변형 오차를 최소화하고 수렴 속도를 극대화하기 위해.

제안 방법

• k-원자 인터페이스 영역에서 블렌딩 함수를 통해 원자 에너지와 코시-본 연속 에너지를 조합하는 블렌디드 퀀티스컨티누움 에너지(BQCE)를 제안한다.
• BQCE 에너지를 원자 에너지와 코시-본 에너지의 볼록 조합으로 정의하며, 블렌딩 함수가 인터페이스를 따라 1(원자모델)에서 0(연속모델)으로 부드럽게 전이되도록 한다.
• 다음근접원자 상호작용이 있는 1차원 순환 체인을 대상으로 변분 프레임워크를 사용해 BQCE 방법을 분석한다.
• 원자 스케일 ε와 블렌딩 영역 크기 k에 대해 ℓ² 변형 에러 및 임계 변형 에러의 사전 오차 추정식을 유도한다.
• 오차 한계를 최소화하기 위해 블렌딩 함수를 최적화하여 더 나은 수렴 속도를 달성한다.
• 안정성 및 모델링 추정을 활용해 적절한 조건 하에 BQCE 최소화자의 존재성과 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다체계 잠재에너지에 대해 원자-연속 모델 결합을 위한 블렌디드 퀀티스컨티누움 에너지(BQCE)를 구성하여 고스트력을 감소시키고 정확도를 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 블렌딩 함수의 선택이 BQCE 방법에서 ℓ² 변형 에러의 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 최적화된 블렌딩 함수를 사용할 경우 BQCE에서 비블렌딩 QCE에 비해 임계 변형 에러가 이론적으로 얼마나 감소하는가?
• RQ4 표준 QCE에 비해 BQCE 방법은 균열 성장이나 결함 운동과 같은 격자 불안정성 근처에서 더 높은 정확도를 달성할 수 있는가?
• RQ5 유한범위 상호작용을 가진 다차원 문제로 BQCE의 1차원 분석을 어느 정도 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 비블렌딩 QCE 방법의 ℓ² 변형 에러는 O(ε¹ᐟ²) 스케일을 보이지만, 최적화된 블렌딩 함수를 사용한 BQCE 방법에서는 이 값이 k³ᐟ² 배 감소한다.
• QCE 방법의 임계 변형 에러는 O(1)이지만, 최적화된 블렌딩 함수를 사용한 BQCE 방법에서는 이 값이 k² 배 감소한다.
• BQCE 방법에 대한 사전 오차 추정에서 변형장의 오차는 ε과 k를 포함하는 항들로 유계이며, 최적의 블렌딩 함수가 주요 오차 항을 최소화함을 보여준다.
• 적절한 헤시안 및 변형 정규성 조건 하에 BQCE 방법은 국소적으로 유일한 최소화자를 가짐을 입증하여 수치적 안정성을 보장한다.
• 이론적 오차 한계는 BQCE가 균열 전파 및 결함 역학과 같은 격자 불안정성 시뮬레이션에서 정확도를 크게 향상시킬 수 있음을 시사한다.
• 분석은 BQCE를 다차원 문제로 확장하는 데 기초를 제공하며, 벤치마크 시뮬레이션에서 유사한 오차 감소가 관찰될 것으로 기대된다.