[논문 리뷰] Analysis of Fully Discrete Mixed Finite Element Methods for Time-dependent Stochastic Stokes Equations with Multiplicative Noise

Xiaobing Feng, Hailong Qiu|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 08.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다중 소음이 있는 시간에 의존하는 스토크스 방정식을 위한 완전 이산 혼합 유한요소법을 제시한다. 시간 이산화에는 오일러-마루야마 스킴을, 공간 이산화에는 테일러-후드 요소를 사용한다. 속도 및 압력 근사에 대해 최적의 강한 수렴 속도를 확립하며, 시간 평균적 의미에서 압력의 낮은 정규성 문제를 다루기 위해 새로운 스토크스스스 인프-서프 조건을 도입한다. 수치 실험을 통해 예상되는 수렴 속도가 확인되었다.

ABSTRACT

This paper is concerned with fully discrete mixed finite element approximations of the time-dependent stochastic Stokes equations with multiplicative noise. A prototypical method, which comprises of the Euler-Maruyama scheme for time discretization and the Taylor-Hood mixed element for spatial discretization is studied in detail. Strong convergence with rates is established not only for the velocity approximation but also for the pressure approximation (in a time-averaged fashion). A stochastic inf-sup condition is established and used in a nonstandard way to obtain the error estimate for the pressure approximation in the time-averaged fashion. Numerical results are also provided to validate the theoretical results and to gauge the performance of the proposed fully discrete mixed finite methods.

연구 동기 및 목표

• 시간에 의존하는 다중 소음이 있는 스토크스 방정식을 위한 완전 이산 혼합 유한요소법을 개발하고 분석한다.
• 낮은 정규성 조건 하에서 속도 및 압력 근사에 대해 강한 수렴성과 수렴 속도를 확립한다.
• 표준 인프-서프 조건이 실패할 경우 압력 과정의 열악한 정규성을 다루기 위해 비표준 방식으로 스토크스스스 인프-서프 조건을 도입하고 적용한다.
• 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증한다. 수렴 속도 및 표본 행동을 분석한다.

제안 방법

• 방법은 다중 소음이 있는 스토크스 시스템의 시간 이산화에 오일러-마루야마 스킴을 사용한다.
• 공간 이산화에는 속도 및 압력에 대해 각각 (Q2–P1 또는 Q2–Q1)의 테일러-후드 혼합 유한요소 쌍을 사용한다.
• 압력 근사의 저정규성 문제를 완화하기 위해 시간 평균 오차 노름을 사용한다.
• 비표준 방식으로 압력 오차를 유 bounds 하기 위해 유도된 스토크스스스 인프-서프 조건을 적용한다.
• 해석은 시간 미분 가능성에 대한 가정 없이, 이토 인te그랄 및 위너 과정을 포함한 해의 스토크스스스 성격을 고려한다.
• 수치 실험은 몬테카를로 샘플링과 인공 압축성 해법을 사용하여 해를 계산하고 수렴성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 소음이 있는 스토크스 방정식을 위한 완전 이산 혼합 유한요소 계획에서 속도 및 압력 근사에 대해 최적의 강한 수렴 속도를 확립할 수 있는가?
• RQ2 표준 인프-서프 조건이 실패할 경우, 저정규성 문제를 오차 분석에서 어떻게 다룰 수 있는가?
• RQ3 시간 간격 크기가 다중 소음 존재 하에서 속도 및 압력 근사의 수렴 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 제안된 방법은 표본 실현에서 비압축성 및 유동 패턴과 같은 예상되는 물리적 행동을 유지하는가?

주요 결과

• 속도 근사에 대해 시간에 대해 반순서의 수렴 속도를 확보하며, 이는 이론적 예측과 일치한다.
• 압력 근사의 수렴 속도는 시간 평균적 $L^2$-노름에서 반순서로 나타나며, 수치적으로 검증되었다.
• 시간 평균 없이 $L^2$-노름 오차가 수렴하는 데 느린 경향을 보이며, 이는 압력 과정의 낮은 정규성과 일치한다.
• 오차 한계는 $k^{-1/2}$에 반비례하며, 수치 실험은 이 의존성을 확인했으며, $k$가 감소함에 따라 오차가 증가하는 경향을 보였다.
• When $k \approx h$, 속도 및 압력에 대해 $O(k^{1/2})$의 수렴 속도를 달성하며, 이는 이론적 경계와 일치한다.
• 속도 및 압력의 표본 실현은 결정론적 결과와 비교해 상당한 변동성을 보였지만, 기대값은 안정적이고 물리적으로 타당한 유동 패턴을 나타내었다.