[논문 리뷰] Analysis of the convex hull of the attractor of an IFS

Jarek Duda|ArXiv.org|2007. 10. 20.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 반복 함수 시스템(IFS)의 집합에 대한 볼록껍데기(convex hull)를 계산하기 위한 새로운 방법을 제안한다. 이 방법은 방향에 따른 집합의 너비를 나타내는 너비 함수(width function)를 분석함으로써 작동한다. 자기유사성 방정식(self-similarity equation)을 너비 함수에 대한 함수방정식으로 변환함으로써 수치적 또는 해석적으로 해결할 수 있다. 주요 기여는 동일한 압축 변환을 가진 2차원 IFS에 대해 볼록껍데기의 면적과 둘레 길이에 대한 닫힌 형태의 공식을 도출한 것으로, 이는 새로운 삼각부등식을 유도한다.

ABSTRACT

In this paper we will introduce the methodology of analysis of the convex hull of the attractors of iterated functional systems (IFS) - compact fixed sets of self-similarity mapping. The method is based on a function which for a direction, gives width in that direction. We can write the self similarity equation in terms of this function, solve and analyze them. Using this function we can quickly check if the distance from K of a given x is smaller than a given distance or even compute analytically convex hull area and the length of its boundary

연구 동기 및 목표

• 직접 분석하기 어려운 IFS 근원집합의 볼록껍데기를 체계적으로 계산하는 방법을 개발하는 것.
• 볼록껍데기의 문제를, 방향별로 집합의 확장 정도를 기술하는 너비 함수에 대한 함수방정식으로 환원하는 것.
• 면적, 둘레 길이, 근원집합에서 점까지의 거리 등 기하적 성질을 효율적으로 계산할 수 있도록 하는 것.
• 특히 동일한 선형 변환을 가진 2차원 IFS 구성에서 해석적 공식을 도출하는 것.
• 기하 분석을 통해 기존에 알려지지 않은 삼각부등식을 도출하는 것.

제안 방법

• 점 $ x $ 에서 방향 $ d $ 에 대해 수직인 초평면으로부터 거리 $ h $ 를 기준으로 집합 $ K $ 가 포함되는 반평면의 최소값을 너비 함수 $ h_{K,x}(d) $ 로 정의한다.
• 자기유사성 방정식 $ K = \bigcup_{i=1}^n (A_i(K) + t_i) $ 를 너비 함수로 표현하여 함수방정식을 도출한다: $ h_0(d) = \max_i \left( \|A_i^T d\| \cdot h_0(\widehat{A_i^T d}) + t_i^T d \right) $.
• IFS의 수축 성질에 의해 수렴이 보장되는 반복 수치 방법을 사용해 너비 함수의 함수방정식을 해결한다.
• 비가속성 점(non-differentiable points)을 식별함으로써 너비 함수로부터 볼록껍데기를 재구성한다. 이는 볼록껍데기 다각형의 변 또는 꼭짓점에 해당한다.
• 2차원 IFS에서 동일한 선형 변환을 가진 경우, 너비 함수를 조각별余弦(cosine) 함수로 분해하고, 회전된 삼각형들의 합집합으로 볼록껍데기를 재구성한다.
• 둘레 길이 $ B = 2(n-1)/(r-1) $ 와 면적 $ A = \frac{(n-1)^2}{r^2 - 1} \sum_{v>0} |\sin(v\phi)| r^{-v} $ 에 대한 명시적 공식을 유도하여 삼각부등식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 방향별 너비의 기능적 표현을 이용해 IFS 근원집합의 볼록껍데기를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 IFS의 자기유사성 성질이 너비 함수에 대한 함수방정식으로 변환될 수 있는가? 이를 통해 수치적 또는 해석적 해법이 가능한가?
• RQ3 특정 IFS 구성에서 너비 함수로부터 유도할 수 있는 기하적 성질(예: 면적, 둘레 길이)은 무엇인가?
• RQ4 너비 함수의 구조(예: 비가속성 점)는 볼록껍데기 다각형의 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 IFS 근원집합의 볼록껍데기 기하 분석에서 새로운 수학적 부등식이 유도될 수 있는가?

주요 결과

• 함수방정식 $ h_0(d) = \max_i \left( \|A_i^T d\| \cdot h_0(\widehat{A_i^T d}) + t_i^T d \right) $ 는 IFS 근원집합의 볼록껍데기 너비 함수를 완전히 특징짓는다.
• 동일한 선형 변환 $ A_i = rR $ 를 가진 2차원 IFS에서, $ R $ 은 각도 $ \phi $ 만큼의 회전을 의미하며, 볼록껍데기는 $ k $ 개의 삼각형으로 이루어진 다각형이며, 이들의 꼭짓점은 너비 함수의 비가속성 점에 의해 결정된다.
• 볼록껍데기의 둘레 길이는 $ B = 2(n-1)/(r-1) $ 로 주어지며, 이는 각도 $ \phi $ 와 무관하다. 이는 비자명한 기하학적 결과이다.
• 볼록껍데기의 면적은 $ A = \frac{(n-1)^2}{r^2 - 1} \sum_{v>0} |\sin(v\phi)| r^{-v} $ 로 주어지며, 이로부터 부등식 $ \sum_{j>0} |\sin(j\phi)| r^{-j} \leq \frac{1}{\pi} \frac{r+1}{r-1} $ 를 도출할 수 있다.
• 이 방법을 통해 빠른 거리 검사를 수행할 수 있다: 점 $ x $ 가 근원집합 $ K $ 에서 거리 $ \varepsilon $ 이내에 있을 조건은 $ h_0(d) \leq \|x\|_d + \varepsilon $ 를 만족하는 것으로, 여기서 $ \|x\|_d $ 는 방향 $ d $ 에서의 지지함수(support function)이다.
• 너비 함수의 비가속성 점은 볼록껍데기의 변에 대응하며, 함수의 국소 최솟값은 경계에 직선 세그먼트가 존재함을 나타낸다.