[논문 리뷰] Analysis of the Rigorous Coupled Wave Approach for s-Polarized Light in Gratings

Benjamin J. Civiletti, Akhlesh Lakhtakia외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 29.

Optical Coatings and Gratings인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 2차원 격자에서 s-편광된 빛에 대해 엄밀한 결합파 방법(Rigorous Coupled Wave Approach, RCWA)의 수렴성을 증명함으로써, RCWA가 갈레르킨 방법임을 보이고, 유한요소법(FEM) 기법의 적용을 가능하게 한다. 비포획 조건 하에서 명시적인 연속성 상수를 포함하여, 유지된 푸리에 모드 수(M)에 대한 수렴성(O(M⁻²))과 슬라이스 두께(h)에 대한 수렴성(O(h¹/²))을 증명한다. 수치 결과는 더 빠른 수렴률을 보이며, 이는 이론적 결과와 일치한다.

ABSTRACT

We study the convergence properties of the two-dimensional Rigorous Coupled Wave Approach (RCWA) for s-polarized monochromatic incident light. The RCWA is widely used to solve electromagnetic boundary-value problems where the relative permittivity varies periodically in one direction, i.e., scattering by a grating. This semi-analytical approach expands all the electromagnetic field phasors as well as the relative permittivity as Fourier series in the spatial variable along the direction of periodicity, and also replaces the relative permittivity with a stairstep approximation along the direction normal to the direction of periodicity. Thus, there is error due to Fourier truncation and also due to the approximation of grating permittivity. We prove that the RCWA is a Galerkin scheme, which allows us to employ techniques borrowed from the Finite Element Method to analyze the error. An essential tool is a Rellich identity that shows that certain continuous problems have unique solutions that depend continuously on the data with a continuity constant having explicit dependence on the relative permittivity. We prove that the RCWA converges with an increasing number of retained Fourier modes and with a finer approximation of the grating interfaces. Numerical results show that our convergence results for increasing the number of retained Fourier modes are seen in practice, while our estimates of convergence in slice thickness are pessimistic.

연구 동기 및 목표

• 2차원 엄밀한 결합파 방법(RCWA)이 주기적 격자 구조에서 s-편광 빛에 대해 수렴성을 엄밀히 분석하는 것.
• RCWA가 갈레르킨 방법임을 입증하여, 오차 분석에 유한요소법(FEM) 기법을 적용할 수 있도록 하는 것.
• 연속 문제에 대해 사전 추정치와 리엘리히 항등식을 유도하여 해의 유일성과 데이터에 대한 연속적 의존성을 보장하는 것.
• 유지된 푸리에 모드 수와 격자 표면의 스타일스탑 근사(stairstep approximation)에 대한 RCWA 수렴성을 증명하는 것.
• 높은 정밀도를 가진 FEM 해를 기준으로 이론적 수렴 속도를 수치적으로 검증하는 것.

제안 방법

• 비균일 헬름홀츠 방정식과 준주기 경계 조건을 포함하는 변분 문제로 전자기 산란 문제를 수립한다.
• 해의 유일성과 연속적 의존성을 보장하기 위해 상대 허용도에 명시적인 의존성을 포함한 리엘리히 항등식과 사전 추정치를 유도한다.
• 푸리에 전개와 조각별 상수 허용도 근사법을 사용하여 약한 형태의 변분 문제를 만족함을 보여, RCWA가 갈레르킨 방법임을 증명한다.
• 유한요소법(based convergence analysis tools)을 적용하여 유지된 푸리에 모드 수(M)와 슬라이스 두께(h)에 대한 수렴 속도를 확립한다.
• 적응 메쉬 기반의 NGSolve에서 PML와 사후 오차 추정을 사용하여 고정밀도 FEM 해를 계산하여 수치 검증의 기준으로 사용한다.
• 지엔키에비츠–줄라 오차 추정기법과 메쉬 이분법을 활용하여 FEM 기준 해의 고정밀도를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유지된 푸리에 모드 수가 증가함에 따라 RCWA 방법이 수렴하는가? 그 수렴 속도는 어떠한가?
• RQ2 스타일스탑 근사의 슬라이스 두께가 감소함에 따라 RCWA 해가 수렴하는가? 이론적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 RCWA가 엄밀히 갈레르킨 방법으로 분석될 수 있으며, 이는 FEM 수렴 도구의 적용을 가능하게 하는가?
• RQ4 사전 추정치의 연속성 상수가 메쉬 크기(슬라이스 두께)와 허용도에 따라 어떻게 변화하는가? 특히 비포획 영역에서의 경우는 어떠한가?
• RQ5 이론적 수렴 속도는 수치 실험 결과와 일치하는가? 비대칭 및 대칭 격자 구조 모두에서 일관된가?

주요 결과

• RCWA가 엄밀히 갈레르킨 방법임을 증명하여, FEM 기반 수렴 분석 기법의 적용이 가능하다.
• 유지된 푸리에 모드 수에 대한 이론적 수렴 속도는 O(M⁻²)이며, 대칭 및 비대칭 격자 예제에서 관측된 수치적 수렴 속도와 정확히 일치한다.
• 슬라이스 두께에 대한 이론적 수렴 속도는 O(h¹/²)이지만, 수치 결과에서는 더 빠른 수렴 속도를 보이며, 비대칭 격자에서는 O(h¹·⁵⁶), 대칭 격자에서는 O(h¹·⁷)이다.
• 비포획 조건 하에서 사전 추정치의 연속성 상수가 슬라이스 두께 h에 독립적으로 유계이므로, h에 대한 수렴성 증명에 필수적이다.
• 리엘리히 항등식과 명시적인 사전 추정치를 일반화하여 연속 문제의 해 존재성과 유일성을 확립하는 데 사용된다.
• 수치 검증 결과, RCWA 해가 고정밀도 FEM 해로 수렴하며, 모든 테스트 구성에서 오차가 약 10⁻⁴ 수준에서趋기한다.