[논문 리뷰] Analysis of the Shifted Boundary Method for the Poisson Problem in General Domains

Nabil M. Atallah, Claudio Canuto외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 01.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 2차원 및 3차원 영역에서 딜리클레 조건을 갖는 푸아송 방정식에 대한 이동 경계 방법(SBM)에 대한 엄밀한 수학적 분석을 제공한다. 이는 경계가 매끄럽거나 비매끄럽더라도 적용 가능하다. 방법은 실제 경계와 일치하지는 않지만 그 근처에 있는 대체 경계에 경계 조건을 적용하며, 최적의 수렴 속도를 유지하기 위해 수정된 값을 사용한다. 이로써 에너지 노름에서 최적의 $h^2$ 수렴 속도를 달성하고, 코너 특이성 존재하더라도 $L^2$-노름에서 향상된 수렴 속도를 확보한다.

ABSTRACT

The shifted boundary method (SBM) is an approximate domain method for boundary value problems, in the broader class of unfitted/embedded/immersed methods. It has proven to be quite efficient in handling problems with complex geometries, ranging from Poisson to Darcy, from Navier-Stokes to elasticity and beyond. The key feature of the SBM is a {\it shift} in the location where Dirichlet boundary conditions are applied - from the true to a surrogate boundary - and an appropriate modification (again, a {\it shift}) of the value of the boundary conditions, in order to reduce the consistency error. In this paper we provide a sound analysis of the method in smooth and non-smooth domains, highlighting the influence of geometry and distance between exact and surrogate boundaries upon the convergence rate. Without loss of generality, we consider the Poisson problem with Dirichlet boundary conditions as a model and we first detail a procedure to obtain the crucial shifting between the surrogate and the true boundaries. Next, we give a sufficient condition for the well-posedness and stability of the discrete problem. The behavior of the consistency error arising from shifting the boundary conditions is thoroughly analyzed, for smooth boundaries and for boundaries with corners and edges. The convergence rate is proven to be optimal in the energy norm, and is further enhanced in the $L^2$-norm.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 복잡한 기하학을 갖는 영역에서 이동 경계 방법(SBM)의 수학적 기초를 확립하기 위해.
• 디리클레 조건을 갖는 푸아송 문제에 대한 SBM의 안정성, 일致성 및 수렴성을 분석하기 위해.
• 코너 및 모서리와 같은 기하학적 특이성이 SBM의 수렴 속도에 미치는 영향을 조사하기 위해.
• 이산 SBM 수식의 잘 정의됨과 안정성에 필요한 충분조건을 유도하기 위해.
• 진짜 경계와 대체 경계 사이의 거리가 일치 오차와 수렴 행동에 미치는 영향을 정량화하기 위해.

제안 방법

• SBM은 실제 물리적 경계와 일치하지는 않지만 그 근처에 있는 대체 경계에 딜리클레 경계 조건을 적용한다.
• 정확한 해의 단절된 테일러 전개를 통해 진짜 경계에서 유도된 수정된 값으로 경계 조건을 수정함으로써 일치 오차를 감소시킨다.
• 안정성과 일치성을 보장하기 위해, 이동된 경계 조건을 약한 형태로 구현하기 위해 니츠에 유형의 전략을 사용한다.
• 대체 영역은 형태가 규칙적이며, 물리적 영역를 초과할 수 있는 비일치 메시로부터 구성되며, 대체 경계는 메시와 물리적 영역의 교차로 정의된다.
• 거리가 $ h^{1+ heta} $의 속도로 감소하도록 점점 감소하는 조건을 도입하여 안정성과 수렴성을 확보한다. 여기서 $ \theta > 0 $ 이다.
• 에너지 노름 추정치로부터 $ L^2 $-노름 수렴 속도를 유도하기 위해 쌍대성 원리를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코너 및 모서리와 같은 기하학적 특이성은 SBM의 일치 오차와 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 진짜 경계와 대체 경계 사이의 거리가 SBM 이산화의 안정성과 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 이산 SBM 수식이 잘 정의되고 수치적으로 안정해지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 비매끄러운 영역에서 에너지 노름에서 최적의 수렴 속도를 달성할 수 있는가? 이 경우 테일러 전개 나머지 항의 역할은 무엇인가?
• RQ5 실제로 $ L^2 $-노름에서의 수렴 속도는 얼마이며, 특이성이 존재할 경우 이론적 예측과 비교해 볼 때 어떻게 되는가?

주요 결과

• 매끄러운 영역에서는 경계가 이동되어 있더라도 SBM이 에너지 노름에서 최적의 $ h^2 $ 수렴 속도를 달성한다.
• 코너가 있는 비매끄러운 영역에서는 정확한 해의 정(regularity)에 의해 에너지 노름 수렴 속도가 결정되며, $ u \in H^{1+r} $ 이고 $ r < 2/3 $ 이면, 에너지 노름에서 $ h^{2/3} $ 수렴 속도를 보인다.
• $ L^2 $-노름 수렴 속도는 향상되어 $ h^{4/3} $에 가까워지며, 이는 에너지 노름 수렴 속도보다 높으며, 이론적 예측과 수치적 관측에 부합한다.
• 에너지 노름에서의 최적성 미달의 주요 원인은 진짜 경계와 대체 경계의 법선 벡터 간의 불일치이며, 이는 $ E_1(\psi,w) $ 항으로 정량화되며, 법선 간의 각도에 의존한다.
• 수치 실험을 통해 에너지 노름에서 실제 수렴 속도가 이론적 예측과 일치함을 확인하였으며, $ \omega = 3\pi/2 $ 인 내측 코너에서 관측된 수렴 속도는 $ h^{2/3} $ 이었다.
• $ L^2 $-노름 수렴 속도는 약 $ h^{4/3} $로 관측되었으며, 이는 예측된 $ 7/6 $ 보다 略로 높아, 히우리스틱 가정 하에 향상된 수렴이 가능할 수 있음을 시사한다.