[논문 리뷰] Analysis on Surreal Numbers

Simon Rubinstein‐Salzedo, Ashvin Swaminathan|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 28.

Artificial Intelligence in Games참고 문헌 9인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 새로운 표기법을 도입하여 순수수( surreal numbers )의 분석을 확장함으로써 극한, 도함수, 적분을 정의한다. 이는 순수수 수열의 극한을 위한 공식을 수립하여 무한 리만 합과 멱급수의 평가를 외삽을 통해 가능하게 하며, 새로운 위상에서 중간값 정리가 성립함을 보이며, 적분이 일관되게 정의된다면 기본정리가 성립할 것임을 보여준다.

ABSTRACT

The class $\mathbf{No}$ of surreal numbers, which John Conway discovered while studying combinatorial games, possesses a rich numerical structure and shares many arithmetic and algebraic properties with the real numbers. Some work has also been done to develop analysis on $\mathbf{No}$. In this paper, we extend this work with a treatment of functions, limits, derivatives, power series, and integrals. We propose surreal definitions of the arctangent and logarithm functions using truncations of Maclaurin series. Using a new representation of surreals, we present a formula for the limit of a sequence, and we use this formula to provide a complete characterization of convergent sequences and to evaluate certain series and infinite Riemann sums via extrapolation. A similar formula allows us to evaluates limits (and hence derivatives) of functions. By defining a new topology on $\mathbf{No}$, we obtain the Intermediate Value Theorem even though $\mathbf{No}$ is not Cauchy complete, and we prove that the Fundamental Theorem of Calculus would hold for surreals if a consistent definition of integration exists. Extending our study to defining other analytic functions, evaluating power series in generality, finding a consistent definition of integration, proving Stokes' Theorem to generalize surreal integration, and studying differential equations remains open.

연구 동기 및 목표

• 순수수에서의 분석을 체계적으로 정립하여 실수 해석학의 개념인 극한, 도함수, 적분을 확장한다.
• 순수수 함수에 대한 일관된 극한과 도함수 정의의 부재로 인해 순수수에서의 미적분학이 제대로 발전하지 못하는 문제를 해결한다.
• 유한 부분합의 외삽을 통해 수렴하는 순수수 수열을 특성화하고, 무한 급수와 리만 합을 평가한다.
• 비Cauchy 완비성에도 불구하고 연결성을 복원하고 중간값 정리를 가능하게 하는 새로운 위상을 순수수 집합에 정의한다.
• 일관된 적분 이론이 존재할 경우 순수수 함수에 대해 기본정리가 성립할 조건을 수립한다.

제안 방법

• 순수수 수열의 극한을 위한 공식을 도출하기 위해 새로운 순수수 표현법을 제안함으로써 수렴 분석이 가능하도록 한다.
• 이 극한 공식을 사용하여 자연수 부분합에서 순서수로의 외삽을 통해 특정 무한 급수와 리만 합을 평가한다.
• 동일한 극한 공식을 사용하여 순수수 함수의 도함수를 정의함으로써 미분해석학을 순수수 환경으로 확장한다.
• 순수수 집합에 대해 공간이 연결되도록 하는 새로운 위상을 도입함으로써 기존 위상에서의 완전히 분리된 성질을 해결한다.
• 이 새로운 위상 하에서 비록 순수수가 Cauchy 완비성이 없더라도 연속 함수에 대해 중간값 정리가 성립함을 보여준다.
• 일관된 적분 정의가 특정 성질을 만족할 경우 순수수에 대해 기본정리가 성립할 것임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ε-δ 프레임워크의 부재로 인해 순수수 함수의 극한과 도함수를 어떻게 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ2 유한 부분합에서의 외삽을 통해 순수수 체계에서 무한 리만 합과 멱급수를 의미 있게 평가할 수 있는가?
• RQ3 연결성을 복원하고 중간값 정리와 같은 고전적 정리의 적용을 가능하게 하는 순수수 집합에 대한 위상을 정의할 수 있는가?
• RQ4 일관된 적분 이론이 존재할 경우 순수수 함수에 대해 기본정리가 성립할 조건은 무엇인가?
• RQ5 재귀적 구성으로 정의된 유전함수(유전함수)는 상수항을 제외하고 유일한 원시함수를 가지는가? 이는 반도함수를 통한 적분이 가능할 수 있음을 시사한다.

주요 결과

• 새로운 순수수 표현법을 사용하여 순수수 수열의 극한을 위한 새로운 공식을 유도함으로써 수렴 수열의 완전한 특성화가 가능해졌다.
• 이 극한 공식을 통해 자연수에서의 부분합에서의 외삽을 통해 특정 무한 급수와 리만 합을 평가할 수 있으며, exp(x)와 같은 함수의 적분도 정확히 수행할 수 있다.
• 공간이 연결되도록 하는 새로운 위상을 정의함으로써, Cauchy 완비성이 없더라도 중간값 정리가 성립함을 보였다.
• 새로운 위상 하에서 일부 연속 함수에 대해 극값 정리가 성립함을 증명하였다.
• 일관된 적분 정의가 특정 성질을 만족할 경우 순수수에 대해 기본정리가 성립할 것임을 보였다.
• 유전함수는 상수항을 제외하고 유일한 원시함수를 가진다는 추측을 제기하였으며, 이 추측이 성립할 경우 반도함수를 통한 적분이 타당한 방법이 될 수 있음을 시사한다.