[논문 리뷰] Analytic and Numerical Study of Navier-Stokes Loop Equation in Turbulence

Alexander Migdal|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 04.

Experimental and Theoretical Physics Studies인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 난류에서 나비에-스토크스 루프 방정식에 대한 분석적이고 수치적 프레임워크를 개발하며, 임의의 비평면 루프로 둘러싸인 최소 표면에서의 코리올리 분포 Ω(r)에 대한 이차 적분 방정식을 유도한다. 이는 주로 최소 표면에서 척도 불변 코리올리장이 해당되는 것으로 나타나며, 점성은 모멘트 ⟨Γᵖ⟩와 ⟨Γᵖ⁻¹⟩을 혼합시키는 주요 보정항을 도입하여 시간 반전 대칭성을 깨뜨리고 시뮬레이션에서 관찰된 비-프랙탈 행동과 유사하다.

ABSTRACT

We developed analytic approach to the non-planar loop equation, which we derived in previous papers \\cite{M19a},\\cite{M19b},\\cite{M19c}. We found quadratic integral equation for the vorticity distribution $\\Omega(r)$ we introduced on a minimal surface. There are no corrections to the minimal surface though: it is still defined by mean external curvature equal to zero, for arbitrary non-planar loop. We also analyzed the loop equations with viscosity term in Navier-Stokes equations. This term creates boundary condition for $\\Omega(r\\in C)$. The leading viscosity correction term mixes the moments $\\left< \\Gamma^p \ ight>$ with $\\left< \\Gamma^{p-1} \ ight>$ resembling the bi-fractal behavior observed in \\cite{S19} and explicitly breaking the time reversal symmetry. We also develop numerical approach to the loop equation with arbitrary curved loop and present \\Mathematica notebook building triangulated minimal surface and then numerically solving these equations. As a result we obtain predictions for future numerical experiments which will compute vorticity distribution along the loop.

연구 동기 및 목표

• 발달한 난류 순환 PDF 꼬리의 맥락에서 나비에-스토크스 방정식에 대한 비평면 루프 방정식을 유도하고 해를 구하는 것.
• 루프로 둘러싸인 최소 표면과 순환을 유지하는 코리올리 분포 Ω(r) 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 루프 방정식에 대한 점성의 주요 보정항을 분석하고 순환 PDF의 모멘트에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 매트랩®를 사용한 삼각형 최소 표면을 활용한 수치적 방법을 개발하여 Ω(r)을 계산하고 임의의 루프에 대한 코리올리 분포를 예측하는 것.
• 장영역 이론에서의 면적 법칙을 루프 공간의 인스탄톤 해로 간주하여 양자장 이론의 WKB 근사와 유사한 이론적 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 켈빈-헬름홀츠 법칙과 비에트-사바르 법칙에서 루프와 코리올리장의 기능적 표현으로 순환 PDF를 유도한다.
• 최소 표면에서 법선 벡터 n(r)과 정렬된 코리올리장 Ω(r)을 도입하며, 오일러 루프 방정식에서 유도된 적분 방정식 (94)를 만족한다.
• PDF를 exp(−S(A_C, Γ))로 간주하고, S를 작용으로 간주하여 WKB 근사를 적용하며, 삼각형 최소 표면에서 Ω(r)를 해석한다.
• 매트랩®를 사용해 삼각형 표면에 루프 방정식을 이산화하여 최소 표면을 구축하고, 최소화를 통해 Ω(r)를 해석한다.
• 점성 보정을 위해 PDF를 ν에 대해 일차 항까지 전개하여, Ω₁(r)에 대한 선형 적분 방정식 (109)을 도출하고, ⟨Γᵖ⟩와 ⟨Γᵖ⁻¹⟩의 모멘트 혼합을 분석한다.
• 좌표 스케일링 하에서 기하학적 면적 A_C 가 유지되도록 Ω(r)를 정규화함으로써 해의 척도 불변성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 표면에서의 코리올리 분포 Ω(r)는 어떻게 발달한 난류에서 순환 PDF의 꼬리에 영향을 미치는가?
• RQ2 임의의 비평면 루프에 대해 루프 방정식을 만족하는 코리올리장 Ω(r)의 해석적 형태는 무엇인가?
• RQ3 점성이 포함될 경우 루프 방정식은 어떻게 수정되고 순환의 통계적 모멘트에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 비평면 루프의 경우 최소 표면 해가 PDF 꼬리에 대한 점근적 근사로 얼마나 유지되는가?
• RQ5 나비에-스토크스 방정식의 루프 공간 인스탄톤 해는 삼각형 최소 표면을 사용해 수치적으로 실현 가능한가?

주요 결과

• 최소 표면에서의 코리올리 분포 Ω(r)는 이차 적분 방정식 (94)를 만족하며, 표면의 균일한 스케일링 하에서 척도 불변성을 유지한다.
• 최소 표면는 평균 곡률이 0이며, 코리올리장은 표면의 법선에 비례한다. Ω(r)는 표면를 가로질러 음수에서 양수로 변화하며 중심에서 최댓값을 가진다.
• 점성 보정은 ⟨Γᵖ⟩와 ⟨Γᵖ⁻¹⟩의 모멘트 혼합을 유도하는 선형 항을 도입하며, 시간 반전 대칭성을 명백히 깨뜨리고 수치 실험에서 관찰된 비-프랙탈 스케일링과 유사하다.
• PDF의 주요 보정은 P(C,Γ) ≈ exp(−S) × (1 + (ν/r₀)V(A_C,Γ)∫dσ(r)Ω₁(r)) 로 기술되며, V와 Ω₁는 선형 적분 방정식 (109)로 결정된다.
• 이론은 임의의 루프 C에 대해 Ω(r)n(r)에 비례하는 계산 가능한 평균 코리올리장을 예측하며, 매트랩®를 통한 수치적 삼각형 분할을 통해 명시적 해를 도출할 수 있다.
• 이 프레임워크는 삼각형 최소 표면에서 이산화 및 수치적으로 해석 가능하며, 향후 루프를 따라 코리올리 분포에 대한 수치 실험 예측이 가능하다.