[논문 리뷰] Analytic cyclic cohomology

Ralf Meyer|ArXiv.org|1999. 06. 29.

Advanced Operator Algebra Research인용 수 50

한 줄 요약

이 논문은 완비 보른로지컬 대수를 사용하여 분석적 순환(cohomology)에 대한 새로운 프레임워크를 제안하며, 유한 합성 가능 또는 θ-합성 가능 조건 없이 프레드홀름 모듈러스에 대한 케른-콘스 문자를 구성할 수 있도록 한다. 전체 순환(cohomology)에서의 추출성(excision)을 증명하고, 코chains에 대한 전체 성장 조건을 통해 무한차원 코homology 기여를 수용하는 전체 순환(cohomology)의 변종을 수립한다.

ABSTRACT

We prove excision in entire and periodic cyclic cohomology and construct a Chern-Connes character for Fredholm modules over a C*-algebra without summability restrictions, taking values in a variant of Connes's entire cyclic cohomology. Before these results can be obtained, we have to sort out some fundamental questions about the class of algebras on which to define entire cyclic cohomology. The right domain of definition for entire cyclic cohomology is the category of complete bornological algebras. For these algebras, we define a bivariant cohomology theory, called analytic cyclic cohomology, that contains Connes's entire cyclic cohomology as a special case. The definition of analytic cyclic cohomology is based on the Cuntz-Quillen approach to cyclic cohomology theories using tensor algebras and X-complexes. The appropriate completion of the tensor algebra that yields analytic cyclic cohomology can be understood using an appropriate notion of analytic nilpotence. In addition, we develop the elementary theory of analytic cyclic cohomology (smooth homotopy invariance, stability, Chern character in K-theory).

연구 동기 및 목표

• 유한 합성 가능 또는 θ-합성 가능 조건 없이 프레드홀름 모듈러스에 대한 케른-콘스 문자를 확장하기 위해.
• 유계 선형 분할을 갖는 대수에 대해 전체 순환(cohomology)에서의 추출성을 확립하기 위해.
• 유계 또는 컴팩트 집합 위에서 코chains에 대한 전체 성장 조건을 사용하여 전체 순환(cohomology)의 변종을 정의하기 위해.
• 보른로지컬 텐서 대수와 X-복합체를 사용하여 주기적 및 분석적 순환(cohomology)을 위한 호환론적 프레임워크를 제공하기 위해.
• 분석적 맥락에서 굿위드이의 정리와 순환(cohomology)의 호모토피 불변성을 일반화하기 위해.

제안 방법

• 완비 보른로지컬 벡터 공간을 사용하여 분석적 텐서 대수와 분석적으로 담비된 대수를 정의한다.
• 분석적 텐서 대수 T(A)의 X-복합체를 구성하여 분석적 순환(cohomology)를 함의적으로 정의한다.
• 보른로지컬 수렴과 완비 텐서곱을 적용하여 연산자의 유계성과 연속성을 확보한다.
• X-복합체 경계 ∂와 연산자 P, H, κ를 도입하여 호크시드 복합체를 분해하고 순환 구조를 정의한다.
• 다항식 구성 f_n(κ²)과 g_n(κ²)을 사용하여 프로젝션과 호모토피를 정의하고, 분석적 보른로지컬에 대해 이들이 유계임을 보인다.
• 등유계 연산자 집합과 스펙트럼 추정을 활용하여 P와 H를 완비 분석 모듈러스 Ω_an A로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 합성 가능 조건 없이 모든 프레드홀름 모듈러스에 대해 케른-콘스 문자를 정의할 수 있는가?
• RQ2 유계 선형 분할을 갖는 확장에 대해 전체 순환(cohomology)에서 추출성이 성립하는가?
• RQ3 무한차원 기여를 포함하도록 전체 순환(cohomology)을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ4 보른로지컬 구조는 분석적 순환(cohomology)를 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 X-복합체의 연산자 P와 H는 카루비 연산자와 허드지 필터링과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 논문은 합성 가능 조건 없이 프레드홀름 모듈러스에 대한 K-호모로지에서 케른-콘스 문자를 구성하며, 고전 이론을 확장한다.
• 유계 선형 분할을 갖는 확장에 대해 전체 순환(cohomology)에서 추출성이 증명되었으며, 여섯 항의 정확한 수열을 얻는다.
• 유계 또는 컴팩트 부분집합에서만 전체 성장 조건을 요구하는 방식으로 전체 순환(cohomology)의 변종을 정의하여 고전 정의보다 더 많은 코체인을 얻는다.
• X-복합체의 연산자 P와 H는 분석적 보른로지컬에 대해 유계이며, 이는 이들이 완비 분석 모듈러스 Ω_an A로 확장될 수 있음을 보여준다.
• X-복합체 경계 ∂가 P의 상에 제한될 때 카루비 연산자 δ와 일치함을 확인하여 순환 구조와의 일致성을 입증한다.
• T(A)의 X-복합체가 분석적 순환(cohomology)을 계산하며, 절대 연속적 호모토피를 통해 그 호모토피 불변성이 확립된다.