[논문 리뷰] Analytic in an unit ball functions of bounded $L$-index in direction

Andriy Bandura, О. Б. Скасків|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 17.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 7인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 복소수 $n$차원 단위 구 $\mathbb{B}_n \subset \mathbb{C}^n$ 내에서 해석적인 함수에 대해 방향에 대한 유계 $L$-지수의 일반화를 제안하며, 이는 이전의 전체 함수에 대한 연구를 확장한다. 방향 도함수를 통해 유계 $L$-지수에 대한 필요 및 충분 조건을 확립하고, 적분 주요 함수를 이용하여 정밀한 성장 추정치를 도출하며, 이 결과를 편미분방정식과 단위 구 내 해석적 해에 적용한다.

ABSTRACT

We propose a generalisation of analytic in a domain function of bounded index, which was introduced by J. G. Krishna and S. M. Shah \cite{krishna}. In fact, analytic in the unit ball function of bounded index by Krishna and Shah is an entire function. Our approach allows us to explore properties of analytic in the unit ball functions. We proved the necessary and sufficient conditions of bounded $L$-index in direction for analytic functions. As a result, they are applied to study partial differential equations and get sufficient conditions of bounded $L$-index in direction for analytic solutions. Finally, we estimated growth for these functions.

연구 동기 및 목표

• 전체 함수에서 유계 $L$-지수의 개념을 복소수 $n$차원 단위 구 $\mathbb{B}_n \subset \mathbb{C}^n$ 내 해석적 함수로 확장함으로써 이전의 전역 정의의 한계를 극복한다.
• 단위 구 내에서 주어진 방향 $\mathbf{b} \in \mathbb{C}^n$ 에 대해 함수가 유계 $L$-지수를 갖기 위한 필요 및 충분 조건을 확립한다.
• 가중치 함수 $L(z)$ 와 그 반경 방향 도함수를 포함한 적분 주요 함수를 이용하여 이러한 함수의 정밀한 성장 추정치를 도출한다.
• 편미분방정식의 해석적 해를 연구하기 위해 결과를 적용하여, 단위 구 내에서 유계 $L$-지수를 갖기 위한 충분 조건을 제공한다.
• Sheremeta, Strochyk 및 기타 연구자들의 이전 결과를 일반화하고 정교화하여, $L$ 의 반경 대칭성 등의 제한적인 가정을 제거한다.

제안 방법

• 해석적 함수 $F$ 가 단위 구 $\mathbb{B}_n$ 에서 방향 $\mathbf{b}$ 에 대해 유계 $L$-지수를 갖는다는 조건을 다음과 같이 정의한다: 모든 $z \in \mathbb{B}_n$, $m \in \mathbb{Z}_+^n$ 에 대해 $ \alpha^m T_m(z) \leq \max\{ \alpha^p T_p(z) : p \leq N \} $, 여기서 $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)$, $T_m(z) = |F^{(m)}(z)| / m!$.
• 함수 $F$ 를 복소수 직선 $z^0 + t\mathbf{b}$, $t \in \mathbb{C}$ 에 제한하고, 얻어진 단일 변수 함수 $g(t) = F(z^0 + t\mathbf{b})$ 를 분석한다.
• 주요 함수 방법을 적용하여 $g(r) = \max_{|t|=r} |g(t)|$ 를 도입하고, $L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b})$ 와 그 반경 도함수를 포함하는 미분 부등식을 유도한다.
• 적분 주요 함수 기법을 사용하여 $\ln |F(z^0 + re^{i\theta}\mathbf{b})|$ 를 $\int_0^r L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b}) \, dt$ 를 통해 유계화하며, $(-L'_t)^+$ 에서 기인하는 수정 항을 포함한다.
• 성장 추정치를 다음과 같은 부등식을 통해 확립한다: $ \ln |F(z^0 + re^{i\theta}\mathbf{b})| \leq \ln g(0) + (N+1)(1+o(1)) \int_0^r L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b}) \, dt $, $r \to R$ 일 때.
• 제닝스의 공식을 적용하여 직선을 따라 $|F|$ 의 성장과 관련된 $n(t, z^0, 0, 1/F)$ 의 세어내기 함수를 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해석적 함수가 단위 구 $\mathbb{B}_n$ 내에서 주어진 방향 $\mathbf{b}$ 에 대해 유계 $L$-지수를 갖기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 가중치 함수 $L(z)$ 의 반경 대칭성을 가정하지 않고 이러한 함수의 성장 추정치를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 유계 $L$-지수 이론을 전체 함수에서 단위 구 내 해석적 함수로 확장할 수 있는가?
• RQ4 편미분방정식의 해석적 해가 단위 구 내에서 유계 $L$-지수를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 성장 추정치는 단위 구의 경계 근처에서 $L(z)$ 와 그 반경 도함수 $L'_t(z)$ 의 행동에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 논문은 단위 구 $\mathbb{B}_n$ 내 해석적 함수에 대해 방향 $\mathbf{b}$ 에 대해 유계 $L$-지수를 갖기 위한 필요 및 충분 조건을 제시하며, 이는 모든 $z \in \mathbb{B}_n$ 와 $m \in \mathbb{Z}_+^n$ 에 대해 $ \alpha^m T_m(z) \leq \max\{ \alpha^p T_p(z) : p \leq N \} $ 의 부등식으로 표현된다.
• 모든 $z^0 \in \mathbb{B}_n$ 과 $\theta \in [0, 2\pi]$ 에 대해, 반사선 $z^0 + re^{i\theta}\mathbf{b}$ 에 따라 $F$ 의 성장은 $ \varlimsup_{|z^0 + re^{i\theta}\mathbf{b}| \to 1} \frac{\ln |F(z^0 + re^{i\theta}\mathbf{b})|}{\int_0^r L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b}) \, dt} \leq N_{\mathbf{b}}(F,L) + 1 $ 를 만족한다.
• 모든 $p \geq 0$ 에 대해 다음 부등식이 성립한다: $ \ln \max_{|t|=r} \left| \frac{\partial^p F(z^0 + t\mathbf{b})}{\partial \mathbf{b}^p} \right| \leq \ln \max_{0 \leq k \leq N} \left| \frac{\partial^k F(z^0)}{\partial \mathbf{b}^k} \right| + \int_0^r \left\{ (N+1)L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b}) + N \frac{(-L'_t(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b}))^+}{L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b})} \right\} dt $.
• 만약 $L(z)$ 가 $|z| \to 1$ 일 때 $(-L'_t(z))^+ / L(z) \to 0$ 를 만족한다면, 성장은 점 渐近적으로 $ \varlimsup_{r \to R} \frac{\ln |F(z^0 + re^{i\theta}\mathbf{b})|}{\int_0^r L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b}) \, dt} \leq N_{\mathbf{b}}(F,L) + 1 $ 으로 유계화된다.
• 일반적으로 $n=1$ 일 때, 이는 Sheremeta 와 Strochyk 의 이전 연구를 개선하며, $l = l(|z|)$ 라는 가정을 제거하여 일반적인 양의 연속 함수 $l(z)$ 를 允許한다.
• 세어내기 함수 $n(t, z^0, 0, 1/F)$ 는 $ \int_0^r \frac{n(t, z^0, 0, 1/F)}{t} dt \leq \ln \max_{|t|=r} |F(z^0 + t\mathbf{b})| $ 를 만족하며, 이는 영점 분포와 성장 간의 연관성을 연결한다.