[논문 리뷰] Analytic solution of nonlinear fractional Burgers-type equation by invariant subspace method

Pietro Artale Harris, Roberto Garra|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 08.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 8인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 캡토 시간 분수도 도함수를 포함하는 비선형 시간 분수도 버거스형 방정식에 대해 해석적 해법을 제시한다. 불변 부분공간 방법을 사용하여 정확한 해를 도출한다. 거칠게 말해, 거칠은 함수와 특수 함수로 생성된 불변 부분공간을 식별함으로써, 강제항과 계수 변화가 있는 변형을 포함한 분수도 미분계로의 축소를 통해 정확한 해를 유도한다. 또한, 이 방법은 공간과 시간의 분수도 도함수를 모두 포함하는 방정식으로까지 확장된다.

ABSTRACT

In this paper we study the analytic solutions of Burgers-type nonlinear fractional equations by means of the Invariant Subspace Method. We first study a class of nonlinear equations directly related to the time-fractional Burgers equation. Some generalizations linked to the forced time-fractional Burgers equations and variable-coefficient diffusion are also considered. Finally we study a Burgers-type equation involving both space and time-fractional derivatives.

연구 동기 및 목표

• 비선형 시간 분수도 버거스형 방정식을 해결하기 위한 정확한 해석적 방법을 개발한다.
• 불변 부분공간 방법을 캡토 도함수를 포함하는 분수도 미분방정식으로 확장한다.
• 유체역학 및 점탄성학 분야에서 비선형 분수도 PDE에 대한 정확한 해 기법의 부족을 해결한다.
• 강제항과 계수 변화가 있는 확산항을 포함하는 경우로 방법을 일반화한다.
• 공간과 시간의 분수도 도함수를 모두 포함하는 방정식에 이 방법을 적용한다.

제안 방법

• 버거스 방정식과 관련된 비선형 시간 분수도 확산방정식에 대해 불변 부분공간 방법을 적용하며, 이는 x에 대한 미분을 통한 접근이다.
• 1과 $x^\beta$와 같은 함수들로 생성된 불변 부분공간을 식별함으로써, $u(x,t) = a(t)x^\beta + \text{const}$ 형태의 해를 도출할 수 있다.
• 시간에 따라 변화하는 계수 $a(t), b(t), c(t)$에 대한 분수도 상미분방정식의 체계로 PDE를 축소함으로써 정확한 해를 도출한다.
• 분수도 도함수들은 캡토의 의미로 취급되어 리만-리우빌 적분과 알려진 분수도 미분학 항등식을 사용할 수 있다.
• 분수도 적분과 감마 함수의 성질, 특히 $J^\alpha t^{\delta}$와 $D^\alpha t^{\delta}$를 사용하여 해를 구성한다.
• 시간에 따라 변화하는 확산계수 $k(t)$를 포함하는 방정식과 공간-시간 분수도 도함수를 모두 포함하는 방정식으로 이 방법을 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불변 부분공간 방법을 통해 비선형 시간 분수도 버거스형 방정식에 대해 정확한 해석적 해를 도출할 수 있는가?
• RQ2 이 방법은 계수 변화나 외부 강제항이 있는 방정식에 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ3 공간과 시간의 분수도 캡토 도함수를 모두 포함하는 버거스형 방정식의 정확한 해는 무엇인가?
• RQ4 해의 극한 $\alpha \to 1$ 및 $k \to 0$에서 해는 어떻게 행동하며, 고전적 버거스 방정식과의 관계는 무엇인가?
• RQ5 분수도 설정에서 해의 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 불변 부분공간 접근법을 통해 시간 분수도 버거스 방정식을 분수도 상미분방정식의 체계로 변환함으로써 정확한 해를 도출하였다.
• 강제항이 포함된 시간 분수도 버거스 방정식의 해는 $a(t), b(t), c(t)$를 포함하는 분수도 상미분방정식의 체계를 풀어 도출되며, 이때 $a(t)$는 분수도 적분을 통해 표현된다.
• 시간에 따라 변화하는 확산계수 $k(t)$를 포함하는 방정식의 경우, $k(t) \in L_1([0,t])$이면 해가 존재하며, 분수도 적분을 통해 구성된다.
• 방정식 $\partial_t^\alpha u + u \partial_x^\beta u = 0$에 대해 정확한 해 $u(x,t) = -\frac{\Gamma(1-\alpha)}{\Gamma(\beta+1)\Gamma(1-2\alpha)} \frac{x^\beta}{t^\alpha} + \text{const}$를 얻었으며, 이는 $\alpha \in (0,1) \setminus \{1/2\}$에서 유효하다.
• 해는 $\alpha \to 1$의 극한에서 고전적 버거스 방정식의 해로 감소하며, 이때 $t$는 $t^\alpha / C_\alpha$로 대체된다. 여기서 $C_\alpha = -\Gamma(1-\alpha)/\Gamma(1-2\alpha)$이다.
• 이 방법이 더 복잡한 분수도 방정식으로까지 확장 가능하며, 분수도 미분학의 특수 함수들로 생성된 불변 부분공간을 통해 가능하다.