[논문 리뷰] Analytical and numerical modeling of front propagation and interaction of fronts in nonlinear thermoviscous fluids including dissipation

A. Rasmussen, Mads Peter Sørensen외 2명|ArXiv.org|2008. 06. 02.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 10인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 열점성 유체에서 유한한 진폭의 음향 교란을 위한 해밀토니안을 유지하는 비선형 파동 방정식을 제안한다. 유체역학에서 두 번째 차수의 비선형성을 고려하여 유도된 방정식으로, 일반화된 이동파 가정을 통해 정확한 이동 전면 해를 제시한다. 전면은 유체 앞쪽에서는 초음속으로, 뒤쪽에서는 음속 이하로 행동하며 충격파와 유사한 성질을 보인다. 선형 분석과 머리 마주 향하는 충돌의 수치 시뮬레이션을 통해 안정성을 검증한다.

ABSTRACT

A wave equation, that governs finite amplitude acoustic disturbances in a thermoviscous Newtonian fluid, and includes nonlinear terms up to second order, is proposed. In contrast to the model known as the Kuznetsov equation, the proposed nonlinear wave equation preserves the Hamiltonian structure of the fundamental fluid dynamical equations in the non-dissipative limit. An exact traveling front solution is obtained from a generalized traveling wave assumption. This solution is, in an overall sense, equivalent to the Taylor shock solution of the Burgers equation. However, in contrast to the Burgers equation, the model equation considered here is capable to describe waves propagating in opposite directions. Owing to the Hamiltonian structure of the proposed model equation, the front solution is in agreement with the classical Rankine-Hugoniot relations. The exact front solution propagates at supersonic speed with respect to the fluid ahead of it, and subsonic speed with respect to the fluid behind it, similarly to the fluid dynamical shock. Linear stability analysis reveals that the front is stable when the acoustic pressure belongs to a critical interval, and is otherwise unstable. These results are verified numerically. Studies of head-on colliding fronts demonstrate that the front propagation speed changes upon collision.

연구 동기 및 목표

• 비산산성 한계에서 해밀토니안 구조를 유지하는 열점성 유체에서의 유한 진폭 음향 교란을 위한 비선형 파동 방정식을 개발하는 것.
• 표준 이동파 접근법을 넘어서는 일반화된 이동파 가정을 사용하여 정확한 이동 전면 해를 유도하는 것.
• 정확한 전면 해와 고전적 충격파 역학 사이의 연결 고리를 랭킨-후고니오 관계를 통해 설정하는 것.
• 선형 안정성 분 析과 수치적 검증을 통해 전면 해의 안정성을 조사하는 것.
• 머리 마주 향하는 전면 간의 상호작용을 연구하고 충돌 후 전면의 전파 속도를 결정하는 것.

제안 방법

• 나비에-스토크스 방정식, 연속 방정식, 에너지 방정식, 상태 방정식의 기본 유체역학 방정식에서 두 번째 차수까지의 비선형 항을 유지하면서 제2차 비선형 파동 방정식을 유도한다.
• 평형 상태에 작은 교란을 도입하고, 속도 포텐셜 이외의 모든 변수를 제거함으로써 단일 비선형 파동 방정식을 도출한다.
• 속도 포텐셜의 편미분에 두 개의 임의의 상수를 추가하는 일반화된 이동파 가정을 적용하여 더 넓은 범주를 가진 정확한 해를 가능하게 한다.
• 전면 해의 渐近 꼬리에 대해 선형 안정성 분 析를 수행하여 시간 도함수(음압 비례)에 기반한 안정성 조건을 결정한다.
• 정확한 전면 해를 초깃값으로 사용하여 수치 시뮬레이션을 수행함으로써 안정성을 검증하고 머리 마주 향하는 전면의 충돌을 연구한다.
• 결과를 쿠즈네초프 방정식과 비교하여, 오직 제안된 해밀토니안 모델만 랭킨-후고니오 관계를 만족함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비산산성 한계에서 해밀토니안 구조를 유지하는 열점성 유체를 위한 비선형 파동 방정식을 구성할 수 있는가?
• RQ2 일반화된 이동파 가정이 고전적 충격파 행동과 일치하는 정확한 전면 해를 도출할 수 있는가?
• RQ3 정확한 전면 해의 안정성 조건은 무엇이며, 음압에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 서로 반대 방향으로 진행하는 두 전면은 어떻게 상호작용하며, 충돌 후 새로운 전면이 생성되는가? 그리고 그 전파 속도는 어떻게 달라지는가?
• RQ5 제안된 모델 방정식은 쿠즈네초프 방정식과 달리 랭킨-후고니오 관계를 만족하는가?

주요 결과

• 제안된 비선형 파동 방정식은 비산산성 한계에서 해밀토니안 구조를 유지하지만, 쿠즈네초프 방정식은 그렇지 않다.
• 정확한 전면 해는 유체 앞쪽에서는 초음속으로, 뒤쪽에서는 음속 이하로 전파되며, 고전적 충격파 행동과 유사하다.
• 선형 안정성 분 析에 의하면, 속도 포텐셜의 시간 도함수(음압 비례)가 임계 구간 내에 있을 경우 전면은 안정하다.
• 수치 시뮬레이션은 안정성 예측을 확인하며, 안정성 구간 내에서는 외란에 의해 전면의 형태가 유지됨을 보여준다.
• 두 전면이 머리 마주 향하는 충돌을 겪으면 두 개의 새로운 전면이 생성되며, 이들의 전파 속도는 원래 전면과 다를 수 있고 사전 충돌 파rameter로부터 예측할 수 있다.
• 해밀토니안 모델에서 전면 전파 속도를 기술하는 삼차 방정식은 랭킨-후고니오 관계와 동치이지만, 이 동치성은 쿠즈네초프 방정식에서는 성립하지 않는다.