[논문 리뷰] Analytical continuum mechanics à la Hamilton-Piola: least action principle for second gradient continua and capillary fluids

Nicolas Auffray, Francesco dell’Isola외 3명|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 29.

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures참고 문헌 147인용 수 173

한 줄 요약

이 논문은 물질 기술술적 기술을 사용하여 제2계 기울기 연속체와 혼합유체에 대한 최소작용 원리를 수립하고, 라그랑주 작용 함수로부터 오일러-라그랑주 방정식과 경계 조건을 유도한다. 이는 변형의 제2계 기울기에 의존하는 에너지를 가진 물질에 대한 변분 프레임워크를 수립하며, 기존의 혼합유체 역학을 복원하고 일반화된 버누이의 법칙을 도출한다. 핵심 기여는 해밀턴-파올라 형식을 통한 분석 연속체 역학의 발전이다.

ABSTRACT

In this paper a stationary action principle is proven to hold for capillary fluids, i.e. fluids for which the deformation energy has the form suggested, starting from molecular arguments, for instance by Cahn and Hilliard. Remark that these fluids are sometimes also called Korteweg-de Vries or Cahn-Allen. In general continua whose deformation energy depend on the second gradient of placement are called second gradient (or Piola-Toupin or Mindlin or Green-Rivlin or Germain or second gradient) continua. In the present paper, a material description for second gradient continua is formulated. A Lagrangian action is introduced in both material and spatial description and the corresponding Euler-Lagrange bulk and boundary conditions are found. These conditions are formulated in terms of an objective deformation energy volume density in two cases: when this energy is assumed to depend on either C and grad C or on C^-1 and grad C^-1 ; where C is the Cauchy-Green deformation tensor. When particularized to energies which characterize fluid materials, the capillary fluid evolution conditions (see e.g. Casal or Seppecher for an alternative deduction based on thermodynamic arguments) are recovered. A version of Bernoulli law valid for capillary fluids is found and, in the Appendix B, useful kinematic formulas for the present variational formulation are proposed. Historical comments about Gabrio Piola's contribution to continuum analytical mechanics are also presented. In this context the reader is also referred to Capecchi and Ruta.

연구 동기 및 목표

• 제2계 기울기 연속체에 대한 정적 작용 원리를 수립하여, 고전적 수식을 초월한 분석 연속체 역학을 확장한다.
• 제2계 기울기 재료에 대해 물질 기술술적 기술과 공간 기술술적 기술 모두에서 일致한 오일러-라그랑주 방정식과 경계 조건을 도출한다.
• 열역학적 가정을 피하면서도 기존의 혼합유체 진화 법칙(예: 케인-힐리아르 형식)을 변분 원리로부터 복원한다.
• 유도된 변분 프레임워크를 사용하여 혼합유체에 대한 버누이의 법칙을 일반화한다.
• 객관적인 변형 에너지 밀도를 사용하여 제2계 기울기 재료에 대한 포괄적인 운동학적 및 변분 기초를 제공한다.

제안 방법

• 물질 기술술적 기술과 공간 기술술적 기술 모두에서 라그랑주 작용을 도입하고, 주로 Cauchy-Green 텐서 $ C $ 와 그 기울기 $ \nabla C $ 를 주요 변수로 사용한다.
• 변형장에 대한 작용 함수의 변분을 통해 오일러-라그랑주 방정식과 경계 조건을 유도한다.
• 변형 에너지의 두 형태를 고려한다: $ C $ 와 $ \nabla C $ 에 의존하거나, $ C^{-1} $ 과 $ \nabla C^{-1} $ 에 의존하며, 객관성을 확보한다.
• 변분 원리를 유체성 재료에 적용하여 이전의 열역학적 유도 결과와 일致하는 혼합유체 진화 방정식을 복원한다.
• 고급 운동학적 항등식과 텐서 미적분학을 사용하며, 특히 변형 기울기 $ F_{P,Q}^i $ 에 대한 $ C_{MN,O} $ 와 $ C_{MN,O}^{-1} $ 의 도함수를 포함하여 현장 방정식을 도출한다.
• 변분 수식에서 경계 적분을 처리하기 위해 통합된 리만다이안 다양체 위의 가우스 발산 정리를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분석역학 원칙과 일致하는 방식으로 제2계 기울기 연속체에 대해 최소작용 원리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 변분 접근을 통해 제2계 기울기 재료에 대한 오일러-라그랑주 방정식과 경계 조건을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 제안된 변분 프레임워크는 케인-힐리아르 또는 코르티웨그-데 브리스 형식과 같은 기존의 혼합유체 진화 법칙을 복원하는가?
• RQ4 이 변분 프레임워크 내에서 혼합유체에 대한 버누이의 법칙의 일반화된 형태를 도출할 수 있는가?
• RQ5 이 변분 수식에 필요한 제2계 기울기 불변량의 변형 기울기 $ F_{P,Q}^i $ 에 대한 정확한 운동학적 도함수는 무엇인가?

주요 결과

• 제2계 기울기 연속체에 대해 일致한 최소작용 원리가 라그랑주 수식을 사용하여 물질 기술술적 기술과 공간 기술술적 기술 모두에서 수립되었다.
• 유도된 오일러-라그랑주 방정식과 경계 조건은 변형 에너지가 제2계 기울기에 의존할 경우 혼합유체의 것과 동치임이 입증되었다.
• 혼합유체에 대한 일반화된 버누이의 법칙이 변분 원리로부터 직접 도출되었으며, 고전적 유체역학을 확장한다.
• 변형 기울기 $ F_{P,Q}^i $ 에 대한 $ C_{MN,O} $ 와 $ C_{MN,O}^{-1} $ 의 도함수에 대한 운동학적 항등식이 명시적으로 계산되었고, 유도 과정에 사용되었다.
• 수식은 강체 운동에 대해 객관적이고 불변하므로 물리적 일致성을 확보한다.
• 이 접근법은 이전에 열역학적 추론(예: 세프체르)을 통해 도출된 결과를 열역학적 가정 없이 복원하며, 변분 방법의 강력함을 입증한다.