[논문 리뷰] Analytical solution for free vibrations of simply supported transversally inextensible homogeneous rectangular plate

Milan Batista|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 15.

Composite Structure Analysis and Optimization참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 3차원 탄성 이론을 사용하여 단순 지지된, 횡방향으로 변형이 없는 균일한 직육면체 판의 자유 진동에 대한 정확한 해석적 해를 제시한다. 정현파 하중 및 변형이 없는 조건 하에서 평형 방정식을 풀어 변위 및 응력 성분에 대한 닫힌 형태의 표현식을 유도하며, 얇은 판에 대해서는 점근 전개를 제공한다. 주요 기여는 민드린 및 고차수 판 이론에서 핵심 가정인 횡방향 비탄성 조건 하에서의 기준 해를 제공하는 데 있다.

ABSTRACT

In article, the exact solution of sinusoidal loaded simply supported elastic transversally inextensible rectangular plate is given. The expressions for displacement and stress components are derived and asymptotic expansion with respect to plate thickness are present. The frequency factors for plate thickness to width ratio 0.01, 0.1, 0.2 and 0.4 and various ratios of plate length to width are given.

연구 동기 및 목표

• 단순 지지된 횡방향 비탄성 직육면체 판의 자유 진동에 대한 정확한 3차원 해석적 해를 제공하기 위해.
• 민드린 및 고차수 판 이론에서 핵심 가정인 횡방향 비탄성 조건 하에서의 정확한 기준 해가 부족한 데서 비롯된 문헌의 격차를 메우기 위해.
• 다양한 판 이론이 정확한 해와 직접 비교 가능하게 하여 그 정확도 평가를 향상시키기 위해.
• 다양한 두께 대 너비 비율과 형태 비율에 대해 진동 수요인을 유도하여 수치적 및 근사 방법의 검증을 지원하기 위해.

제안 방법

• 횡방향 비탄성 조건(w_z = 0)을 포함한 3차원 탄성 방정식을 사용하여 문제를 수립하기 위해.
• 시간에 대한 조화 운동을 가정하고 변위 및 응력 성분에 대해 이중 푸리에 급수 전개를 적용하기 위해.
• 축방향 및 수직 변위 함수 U(z)와 V(z)에 대한 상미분 방정식의 연립계를 유도하기 위해.
• 쌍곡함수를 사용하여 연립계를 풀고 정규화된 좌표 ζ = z/h ∈ [-1,1]를 도입하기 위해.
• 단순 지지된 가장자리 및 판의 표면에 대한 경계 조건을 적용하여 미지 계수에 대한 동차 시스템을 유도하기 위해.
• 특성 방정식과 행렬식 조건을 통해 특성 방정식을 도출하고, 비자명한 해를 얻어 주파수 인자 및 응력/변위 표현식을 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정현파 하중 조건 하에서 단순 지지된 횡방향 비탄성 직육면체 판의 정확한 3차원 해는 무엇인가?
• RQ2 변위 및 응력 성분은 판의 두께 방향과 평면 내에서 어떻게 변화하는가?
• RQ3 다양한 판의 형태 비율과 두께 대 너비 비율에 대해 주파수 인자는 무엇인가?
• RQ4 얇은 판에 대한 점근 전개는 클래식한 레이스너의 근사치와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 이 정확한 해가 판 이론의 정확도 평가를 위한 기준 해로 얼마나 효과적으로 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 경계 조건에 기반한 특성 방정식을 사용하여 쌍곡함수를 활용한 변위 및 응력 성분에 대한 정확한 해석적 해가 도출되었다.
• 두께 대 너비 비율 0.01, 0.1, 0.2, 0.4 및 다양한 길이 대 너비 비율에 대해 주파수 인자를 계산하여 포괄적인 기준 해를 제공하였다.
• 두께 대 길이 비율 h/a = 0.4, 푸아송 비 ν = 0.3인 정사각형 판의 경우 첫 번째 모드 주파수 인자는 1.3994이며, 일阶 이론(FOPT)의 상대 오차는 0.17%, 고차수 이론(HOPT)의 상대 오차는 0.01%였다.
• 얇은 판에 대한 점근 전개는 응력 성분에 대해 레이스너의 고전적 근사치를 복원하여, 고차수 이론에서의 활용 가능성을 검증하였다.
• 고차수 판 이론(HOPT)이 일阶 이론(FOPT)보다 정확도 면에서 뚜렷이 뛰어나며, 특히 고차 모드에서 두드러진다.
• 응력 결과 및 수직 전단력에 대한 유도된 표현식은 고전적 판 이론의 수식과 일치하여 직접 비교가 가능하다.