[논문 리뷰] Analytical solution method for rheological problems of solids

Tamás Fülöp, Mátyás Szücs|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 15.

Rheology and Fluid Dynamics Studies참고 문헌 8인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 탄성 해법에 알려진 해를 시간에 따라 변화하는 함수로 대체함으로써 고체 내 선형 점탄성 문제를 해결하는 새로운 분석 방법을 제시한다. 이 방법은 복잡한 유변학 문제를 해결 가능한 선형 상미분방정식계로 환원하여 터널, 압력이 가해진 용기 등 지구역학적 시나리오에 대해 정확하고 계산 효율성이 높은 정확한 해를 제공한다.

ABSTRACT

In classical continuum theory, Volterra's principle [1, 2] is a long-known method to solve linear rheological (viscoelastic) problems derived from the corresponding elastic ones. Here, we introduce and present another approach that is simpler to apply (no operator inverse is required to compute but only linear ordinary differential equations to solve). Our method starts with the known elastic solution, replaces the elasticity coefficients with time dependent functions, derives differential equations on them, and determines the solution corresponding to the initial conditions. We present several examples solved via this new method, like tunnels and spherical hollows opened in various initial stress states, and pressurizing of thick-walled tubes and spherical tanks. These examples are useful for applications and, in parallel, are suitable for testing and validating numerical methods of various kinds.

연구 동기 및 목표

• 역산자 역행이 필요하지 않은 선형 유변학(점탄성) 문제를 해결하기 위한 단순화된 분석적 접근법을 개발하는 것.
• 공학 및 지구역학적 응용 분야에서 시간에 따라 변화하는 변위, 변형률, 응력장에 대해 정확한 닫힌 형태의 해를 도출하는 것.
• 유한요소 해석과 같은 수치적 방법을 검증하기 위한 기준을 제공하는 것, 특히 복잡한 3차원 문제에서의 검증을 위한 것.
• 터널과 압력이 가해진 용기와 같은 다양한 초기 응력 상태와 경계 조건으로의 일반화를 위한 것.
• 특히 평면변형 상태 구성에서 이 방법이 잘 정의된 미분방정식계를 도출할 수 있는 수학적 조건을 탐색하는 것.

제안 방법

• 균일하고 등방성 고체에서 변위, 변형률, 응력장에 대한 알려진 탄성 해법에서 출발한다.
• 탄성 상수(예: 엘라스티시티 모odulus, 푸아송 비 등)를 점탄성 거동를 나타내는 시간에 따라 변화하는 함수로 대체한다.
• 이러한 시간에 따라 변화하는 재료 상수를 제어하는 선형 상미분방정식계를 유도한다.
• 탄성 해법에서 유도된 초기 조건을 적용하여 상미분방정식계의 적분 상수를 결정한다.
• 유도된 상미분방정식계를 해석적으로 풀어 시간에 따라 변화하는 변위, 변형률, 응력장을 도출한다.
• 터널, 구형 공극, 압력이 가해진 두꺼운 벽을 가진 실린더 등 다양한 초기 응력 상태에서의 예제를 통해 방법의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 탄성 해법을 변형함으로써 역산자 역행이 필요 없이 점탄성 문제를 해석적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 유도된 미분방정식계가 잘 정의되고 해를 구할 수 있도록 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 자기중 하중 또는 사전 존재하는 이방성 응력과 같은 다양한 초기 응력 상태에서 이 방법의 성능은 어떠한가?
• RQ4 이 방법이 평면변형 문제 및 기타 대칭 기하 구조로의 일반화가 어느 정도 가능한가?
• RQ5 해법에서 응력 및 변형률 패턴의 구형 성분 간 자연스러운 관계가 존재하지 않을 경우의 한계는 무엇인가?

주요 결과

• 이 방법은 탄성 해법을 시간에 따라 변화하는 형태로 변형시킴으로써 터널, 구형 공극, 압력이 가해진 용기의 점탄성 문제를 성공적으로 해결한다.
• 이 방법은 볼테라 원리에 비해 역산자 역행이 필요 없어 계산을 크게 단순화한다.
• 평면변형 문제에서는 응력 및 변형률 텐서의 구형 성분 간 내재된 관계로 인해 항상 잘 정의된 선형 상미분방정식계를 도출한다.
• 이 방법은 실제 터널, 예를 들어 Bátaapáti 저장소에서 측정된 변위 역사와 일치하는 해를 도출하며, 특성 상피 시간은 3~10년이다.
• 이 방법은 지구역학 및 토목공학에서 흔히 발생하는 정적이고 훼손되지 않은 초기 상태 문제에 적용 가능하다.
• 구형 성분 간의 그러한 관계가 존재하지 않을 경우, 방법이 과잉정의된 시스템이 될 수 있으므로 변분 형식을 사용한 일반화되거나 근사적인 변형이 필요하다고 제안된다.