[논문 리뷰] Analyzing Controllability of Bilinear Systems on Symmetric Groups: Mapping Lie Brackets to Permutations

Wei Zhang, Jr-Shin Li|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 07.

Mitochondrial Function and Pathology참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이중선형 시스템에서 벡터장의 리 괄호 연산을 대칭군의 순열로 매핑하는 새로운 대수적 프레임워크를 제안한다. 이를 통해 순열 순환 구조를 활용한 효율적인 제어 가능성 분석이 가능해진다. 주요 기여는 순환 길이에 기반한 SO(n)에서의 제어 가능성에 대한 필수 및 필요 조건이며, 다중 에이전트 네트워크 및 마르코프 체인과 같은 그래프 기반 시스템으로의 확장은 그래프의 연결성에 의해 이루어진다.

ABSTRACT

Bilinear systems emerge in a wide variety of fields as natural models for dynamical systems ranging from robotics to quantum dots. Analyzing controllability of such systems is of fundamental and practical importance, for example, for the design of optimal control laws, stabilization of unstable systems, and minimal realization of input-output relations. Tools from Lie theory have been adopted to establish controllability conditions for bilinear systems, and the most notable development was the Lie algebra rank condition (LARC). However, the application of the LARC may be computationally expensive for high-dimensional systems. In this paper, we present an alternative and effective algebraic approach to investigate controllability of bilinear systems. The central idea is to map Lie bracket operations of the vector fields governing the system dynamics to permutation multiplications on a symmetric group, so that controllability and controllable submanifolds can be characterized by permutation cycles. The method is further applicable to characterize controllability of systems defined on undirected graphs, such as multi-agent systems with controlled couplings between agents and Markov chains with tunable transition rates between states, which in turn reveals a graph representation of controllability through the graph connectivity.

연구 동기 및 목표

• 고차원 이중선형 시스템에 대한 리 대수 질량 조건(LARC)의 계산 비가역성 문제를 해결한다.
• 비용이 많이 드는 반복적인 리 괄호 계산을 피하는 대체적인 대수적 제어 가능성 분석 방법을 개발한다.
• so(n)에서의 리 괄호 연산과 대칭군 S_n에서의 순열 곱셈 간의 대응 관계를 수립한다.
• 순열 순환 구조를 이용해 제어 가능성과 제어 가능한 부분다양체를 특성화한다.
• 무방향 그래프에서 정의된 시스템, 예를 들어 다중 에이전트 시스템과 마르코프 체인으로의 프레임워크 확장을 통해 연결성에 기반한 제어 가능성의 그래프 이론적 표현을 드러낸다.

제안 방법

• 우변이 일정한 이중선형 시스템의 벡터장을 리 괄호-순열 대응을 통해 대칭군 S_n의 순열로 매핑한다.
• S_n에서 리 괄호 연산을 모델링하는 이진 연산 *를 정의하며, 순환 구조와 궤도 행동을 유지한다.
• * 연산 후 생성된 순열의 순서와 유형을 결정하기 위해 순환 분해와 궤도 합집합을 사용한다.
• 순열의 순환 유형(공共류 클래스)에 기반한 S_n 상의 동치 관계 ~을 도입하여 순열 세부 정보에 대한 추상화를 가능하게 한다.
• * 연산이 ~에 대해 가환성과 결합성을 가지며, 일관된 대수적 연산이 가능하다는 것을 증명한다.
• 필요 및 충분 조건인 제어 가능성 조건을 유도한다: 시스템은 오직 그리고 오직 생성된 순열이 최대 길이 n의 단일 순환을 생성할 때만 제어 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중선형 시스템의 리 괄호 연산은 대칭군에서의 순열 연산으로 체계적으로 매핑될 수 있는가? 이를 통해 제어 가능성 분석이 단순화되는가?
• RQ2 순열 연산 *의 어떤 대수적 성질이 제어 가능성의 특성화에서 일관성과 정확성을 보장하는가?
• RQ3 리 괄호에서 유도된 순열의 순환 구조는 SO(n)에서의 시스템 제어 가능성 여부를 어떻게 결정하는가?
• RQ4 이 프레임워크는 다중 에이전트 시스템 및 마르코프 체인과 같은 무방향 그래프에서 정의된 시스템으로 얼마나 일반화될 수 있는가?
• RQ5 순열 순환을 통한 모델링에서 그래프의 연결성과 제어 가능성 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• SO(n)에서의 시스템은 오직 그리고 오직 * 연산에 의해 생성된 순열 순환이 길이 n의 단일 순환을 포함할 때만 제어 가능하다.
• S_n에서의 * 연산은 순환 구조와 궤도 합집합을 유지하며, 낮은 차수의 순환으로부터 고차수의 순환을 구성할 수 있다.
• 순환 유형에 기반한 동치 관계 ~는 * 연산이 잘 정의되어 있고 ~에 대해 가환성을 보장한다.
• 순환의 겹치는 및 분리된 궤도에 대한 케이스 분석을 통해 * 연산의 결합성이 ~에 대해 증명된다.
• 이 프레임워크는 그래프 기반 시스템의 제어 가능성과 기저 그래프의 연결성 간에 동치임을 드러내며, 대수적 구조와 네트워크 위상 기하학을 연결한다.
• 이 방법은 반복적인 리 괄호 계산을 피하는 계산적으로 효율적인 LARC의 대체 방법을 제공한다. 이를 통해 순열 대수를 활용한다.