[논문 리뷰] Analyzing the structure of multidimensional compressed sensing problems through coherence

Alexander Daniel Jones, Ben Adcock외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 24.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 35인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다차원 압축 측정에 대해 渐近적 불일치 분석을 확장하여, 분리 가능한 웨이블릿 흐트러짐과 함께 푸리에 측정이 임의의 차원에서 최적의 $N^{-1}$ 불일치 감쇠를 달성함을 보여준다. 2차원에서는 표준 측정 패턴들이 최적의 순서와 호환되지만, 고차원에서는 웨이블릿의 부드러움이 열악할 경우 하향식 측정이 제한되며, 더 부드러운 웨이블릿을 사용해야만 한다. 또한 텐서 기반 구조는 차원 수 문제로 인해 최적의 감쇠를 이룰 수 없다.

ABSTRACT

Recently it has been established that asymptotic incoherence can be used to facilitate subsampling, in order to optimize reconstruction quality, in a variety of continuous compressed sensing problems, and the coherence structure of certain one-dimensional Fourier sampling problems was determined. This paper extends the analysis of asymptotic incoherence to cover multidimensional reconstruction problems. It is shown that Fourier sampling and separable wavelet sparsity in any dimension can yield the same optimal asymptotic incoherence as in one dimensional case. Moreover in two dimensions the coherence structure is compatible with many standard two dimensional sampling schemes that are currently in use. However, in higher dimensional problems with poor wavelet smoothness we demonstrate that there are considerable restrictions on how one can subsample from the Fourier basis with optimal incoherence. This can be remedied by using a sufficiently smooth generating wavelet. It is also shown that using tensor bases will always provide suboptimal decay marred by problems associated with dimensionality. The impact of asymptotic incoherence on the ability to subsample is demonstrated with some simple two dimensional numerical experiments.

연구 동기 및 목표

• 1차원 압축 측정 문제에서의 渐近적 불일치 분석을 다차원 압축 측정 문제로 확장하는 것.
• 표준 2차원 및 고차원 측정 패턴이 2차원 푸리에-분리 가능한 웨이블릿 문제에서 최적의 불일치 감쇠와 호환되는지 여부를 규명하는 것.
• 웨이블릿의 부드러움과 기저 구조(분리 가능 vs. 텐서)가 불일치 감쇠와 하향식 측정 성능에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 임의의 차원에서 분리 가능한 웨이블릿 흐트러짐과 함께 푸리에 측정에 대해 최적의 순서를 설정하는 것.
• 하향식 측정 하에서 불일치 구조가 재구성 품질에 직접적인 영향을 미친다는 것을 수치적으로 입증하는 것.

제안 방법

• d차원 연속 역문제에서 푸리에 측정과 분리 가능한 웨이블릿 흐트러짐으로 유도된 무한 측정 행렬 $U$의 불일치를 분석한다.
• asymptotic incoherence 는 $\mu(P_N^\bot U) \to 0$ 로 정의되며, $N \to \infty$ 일 때 수렴하며, $\mu(U) = \sup_{i,j} |U_{ij}|^2$ 로 감쇠 속도를 정량화한다.
• 최적의 순서(기저 원소를 측정하는 특정 순서)를 도입하고 적용하여, $N^{-1}$ 의 가장 빠른 가능한 불일치 감쇠를 달성한다. 이는 1차원 최적 속도와 일치한다.
• 2차원에서 히퍼볼릭 및 선형 측정 패턴을 사용하여 분리 가능한 웨이블릿 기저와 텐서 기반 웨이블릿 기저 간의 성능을 비교한다.
• L^1 재구성 오차를 사용한 수치 실험을 통해 다양한 불일치 감쇠 행동 하에서 하향식 측정 전략을 평가한다.
• 웨이블릿-푸리에 변환 감쇠 추정과 히퍼볼릭 크로스 색인을 사용하여 이론적 경계를 적용하여 불일치 감쇠의 하한 및 상한을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차원 압축 측정에서의 최적 $N^{-1}$ 渐近적 불일치 감쇠 속도가 다차원 문제로 확장 가능한가?
• RQ2 표준 2차원 측정 패턴(예: 반경형, 나선형, 히퍼볼릭)이 2차원 푸리에-분리 가능한 웨이블릿 문제에서 최적의 불일치 감쇠와 호환되는가?
• RQ3 웨이블릿의 부드러움이 고차원 문제에서 최적 불일치를 달성하는 데 영향을 미치는가?
• RQ4 왜 텐서 곱 웨이블릿 기저는 고차원에서 최적의 불일치 감쇠를 이룰 수 없는가?
• RQ5 불일치 구조가 다차원 압축 측정에서 하향식 측정 전략의 효과성에 얼마나 큰 영향을 미치는가?

주요 결과

• 푸리에 측정과 분리 가능한 웨이블릿 흐트러짐은 임의의 차원에서 최적의 $N^{-1}$ 渐近적 불일치 감쇠 속도를 달성하며, 1차원의 경우와 동일하다.
• 2차원에서는 최적의 순서가 반경형, 나선형, 히퍼볼릭 패턴과 같은 일반적인 측정 패턴과 호환된다.
• 3차원 이상에서는 웨이블릿의 부드러움이 열악할 경우(예: 분리 가능한 하르 웨이블릿), 최적의 순서가 회전 대칭이 아니게 되어 표준 패턴을 사용한 효과적인 하향식 측정이 제한된다.
• 충분히 부드러운 생성 웨이블릿을 사용하면 고차원에서도 최적의 하향식 측정과 호환성이 회복된다.
• 텐서 곱 웨이블릿 기저는 항상 차원 수 문제로 인해 최적의 불일치 감쇠를 이룰 수 없으며, 2차원에서는 감쇠 속도가 $1/\sqrt{N}$ 이하로 제한되고, 고차원에서는 더 악화된다.
• 수치 실험 결과, 히퍼볼릭 측정 패턴은 분리 가능한 기저와 텐서 기저 모두에서 유사한 재구성 품질을 제공하는 반면, 선형 패턴은 분리 가능한 기저가 더 빠른 $N^{-1}$ 대비 $N^{-1/2}$ 감쇠 속도로 인해 분리 가능한 기저를 선호한다.