[논문 리뷰] Anderson localisation for an interacting two-particle quantum system on ${\mathbb Z}$

Victor Chulaevsky, Yuri Suhov|arXiv (Cornell University)|2007. 05. 04.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 7인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 짧은 범위의 상호작용과 무작위 외부 포텐셜을 가진 일차원 격자 ℤ 위의 두 입자 양자 시스템에 대해 앤더슨 국소화를 확립한다. 상호작용 시스템에 적합하게 보완된 다중 척도 분석을 사용하여, 충분히 큰 불순도(큰 결합 상수 g)일 때 스펙트럼이 순수 점 스펙트럼이며, 거의 확실하게 모든 고유함수들이 지수적으로 감쇠됨을 증명한다. 이는 불순도 분포가 실수축 주변의 스트립에서 해석적일 경우를 전제로 한다.

ABSTRACT

We study spectral properties of a system of two quantum particles on an integer lattice with a bounded short-range two-body interaction, in an external random potential field $V(x,ω)$ with independent, identically distributed values. The main result is that if the common probability density $f$ of random variables $V(x,ω)$ is analytic in a strip around the real line and the amplitude constant $g$ is large enough (i.e. the system is at high disorder), then, with probability one, the spectrum of the two-particle lattice Schroedinger operator $H(ω)$ (bosonic or fermionic) is pure point, and all eigen-functions decay exponentially. The proof given in this paper is based on a refinement of a multiscale analysis (MSA) scheme proposed by von Dreifus and Klein, adapted to incorporate lattice systems with interaction.

연구 동기 및 목표

• 유한 범위의 상호작용과 무작위 외부 포텐셜을 가진 ℤ 위의 두 입자 양자 시스템에 대해 스펙트럼 국소화를 확립한다.
• 폰 드라이프스와 클라인의 다중 척도 분석(MSA) 프레임워크를 상호작용이 있는 다체 시스템으로 확장한다.
• 고도의 불순도(큰 g) 하에서 두 입자 해밀토니안의 스펙트럼이 순수 점 스펙트럼이며 고유함수들이 지수적으로 감쇠됨을 증명한다.
• 부조화적 및 페르미온 통계를 고려하기 위해 하삼각 반평면 ℤ²≥에서 적절한 경계 조건을 적용한다.
• 일차 입자 포텐셜의 분포가 실수축 주변의 스트립에서 해석적일 경우, 국소화가 유지되는지 확인한다.

제안 방법

• von Dreifus–Klein 다중 척도 분석(MSA) 기법을 상호작용이 있는 두 체 격자 시스템에 적응시킨다.
• ℤ²≥ = {(x₁,x₂) ∈ ℤ² : x₁ ≥ x₂} 에서 정의된 두 입자 힐베르트 공간 ℓ²(ℤ²≥)를 정의하며, 이는 부조화적(반사) 또는 페르미온(디리클레) 통계를 반영한 경계 조건을 포함한다.
• H = H⁰ + U + g(V₁ + V₂) 형태의 해밀토니안으로 시스템을 모델링한다. 여기서 H⁰은 격자 라플라시안, U는 유한 범위의 상호작용, V(x,ω)는 i.i.d. 무작위 변수이다.
• 유한 체적 내에서 고유함수의 감쇠를 제어하기 위해 터널링 및 공진 사건에 대한 확률적 추정을 사용한다.
• 척도 매개변수 Lₖ에 대한 유도와 함께, 연속적인 척도에서 국소화 확률에 대한 재귀적 추정을 적용한다. 지수 감쇠 추정과 함께 척도 파라미터에 대한 유도를 사용한다.
• 핵심 감쇠 추정을 확립한다: P(Bₖ) ≤ 4Lₖ⁻⁴ < Lₖ₊₁⁻¹², 여기서 p=6, q=24, α=3/2이며, MSA의 귀납 단계를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상호작용과 무작위 포텐셜이 있는 ℤ 위의 두 입자 시스템이 고도의 불순도 하에서 순수 점 스펙트럼을 보일까?
• RQ2 다중 척도 분석 기법은 유한 범위의 두 체 상호작용이 있는 다체 시스템으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 무작위 포텐셜의 분포에 어떤 조건이 있어야 상호작용이 있는 두 입자 시스템에서 고유함수의 지수 국소화가 보장되는가?
• RQ4 부조화적 및 페르미온 통계는 두 입자 설정에서 국소화 성질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 일차 입자 포텐셜의 분포가 실수축 주변의 스트립에서 해석적일 경우 국소화가 유지되는가?

주요 결과

• 충분히 큰 결합 상수 g에 대해 두 입자 해밀토니안의 스펙트럼은 거의 확률로 순수 점 스펙트럼이다.
• 모든 고유함수들이 무한대에서 지수적으로 감쇠하므로, 상호작용 시스템에서 지수(앤더슨) 국소화가 확인된다.
• 결과는 무작위 포텐셜의 확률 밀도 f가 실수축 주변의 스트립에서 해석적일 경우에 성립한다.
• 증명은 두 체 설정에 적합하게 보완된 정교한 다중 척도 분석에 기반하며, 국소화 확률에 대한 재귀 감쇠 추정을 포함한다.
• 비국소화 사건의 확률은 어떤 다항식보다도 더 빠르게 감쇠하여 MSA 반복의 수렴을 보장한다.
• 이 방법은 하삼각 격자 ℤ²≥에서 적절한 경계 조건을 적용함으로써 부조화적 및 페르미온 시스템 모두에 적용 가능하다.