[논문 리뷰] André-Quillen cohomology and rational homotopy of function spaces

Jonathan Block, Andrey Lazarev|ArXiv.org|2003. 06. 28.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유리수 호모토피 이론에서 수렴-데 라무 모델의 앤드레-퀼렌 코homology와 함수 공간 및 자기동치 공간의 호모토피 군 사이의 직접적인 연결 고리를 확립한다. 함수 공간 $ F(X,Y) $의 호모토피 군과 자기동치 공간의 군 $ hAut(X_{\mathbb{Q}}) $는 각각 $ X $와 $ Y $의 유리수 모델의 앤드레-퀼렌 코homology로 계산되며, $ hAut(X_{\mathbb{Q}}) $의 리 대칭은 $ H^{0}_{AQ}(A^{*}(X), A^{*}(X)) $로 식별된다. 이는 수렴의 산술성 결과에 대한 개념적 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We develop a simple theory of André-Quillen cohomology for commutative differential graded algebras over a field of characteristic zero. We then relate it to the homotopy groups of function spaces and spaces of homotopy self-equivalences of rational nilpotent $CW$-complexes. This puts certain results of Sullivan in a more conceptual framework.

연구 동기 및 목표

• 특성 0인 체 위의 교환 법칙을 만족하는 미분 등급 대수(dga’s)에 대한 앤드레-퀼렌 코homology의 직접적이고 계산 가능한 이론을 개발하기 위해.
• 앤드레-퀼렌 코homology를 유리수 노름형 $ CW $-복합체 사이의 함수 공간 $ F(X,Y) $의 호모토피 군과 연관시키기 위해.
• 수렴의 결과인 $ hAut(X_{\mathbb{Q}}) $가 산술군임을 재증명하고 개념적으로 설명하기 위해, 그 리 대칭을 $ H^{0}_{AQ}(A^{*}(X), A^{*}(X)) $로 식별하기 위해.
• dga 모델을 사용하여 무기준 함수 공간의 고차 호모토피 군을 계산하는 데로 확장하기 위해.

제안 방법

• dga $ A $와 dg $ A $-모듈 $ M $에 대해 앤드레-퀼렌 코homology를 명시적인 코체인 복합체 $ C^{*}_{AQ}(A,M) $로 정의하기 위해.
• 이 복합체가 유도된 함자들과 동치임을 증명하고, dga와 dg 모듈의 모델 범주 구조를 사용하여 호모토피 불변성을 보여주기 위해.
• $ C^{*}_{AQ}(A,A) $에 게르스텐하버 괄호를 도입하여, 이가 코homology 위에 리 대칭 구조를 유도함을 보여주기 위해.
• 수렴-데 라무 함자를 사용하여 위상적 함수 공간을 $ A^{*}(Y) $ 위의 dga 범주에서의 dga 사상 공간으로 변환하기 위해.
• 유리수 유한형 공간과 $ A^{*}(Y) $ 위의 dga 사이의 호모토피 범주 반동치를 사용하여 $ \pi_n(F(X,Y)) $를 $ H^{-n}_{AQ}(A^{*}(Y), A^{*}(X)) $로 연결하기 위해.
• $ A^{*}(X \times S^n) \simeq A^{*}(X) \ltimes A^{*}(X)[n] $의 구조를 활용하여 호모토피 피브리 계열을 모델링하고 호모토피 군을 계산하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 0인 체 위의 교환 법칙을 만족하는 미분 등급 대수(dga’s)에 대해 앤드레-퀼렌 코homology를 체계적으로 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 함수 공간 $ F(X,Y) $의 호모토피 군과 그 유리수 모델의 앤드레-퀼렌 코homology 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 유리수 자기동치의 군 $ hAut(X_{\mathbb{Q}}) $의 리 대칭은 코homological 측면에서 어떻게 표현되는가?
• RQ4 무기준 함수 공간의 고차 호모토피 군은 앤드레-퀼렌 코homology를 통해 계산될 수 있는가?

주요 결과

• $ F(X,Y) $의 함수 공간에서 기저점 $ f $에서의 $ n $-번째 호모토피 군은 $ H^{-n}_{AQ}(A^{*}(Y), A^{*}(X)) $와 동형이며, $ n \geq 2 $일 경우 아벨 군 동형사상이 성립한다.
• $ hAut(X_{\mathbb{Q}}) $의 리 대칭은 $ H^{0}_{AQ}(A^{*}(X), A^{*}(X)) $와 동형이며, 게르스텐하버 괄호가 리 괄호를 유도한다.
• $ f: X \to Y $가 영호모토피일 경우, $ H^{*}_{AQ}(A^{*}(Y), A^{*}(X)) \cong H^{*}_{AQ}(A^{*}(Y), \mathbb{Q}) \hat{\otimes} H^{*}(X) $가 성립하며, 이는 유리수 호모토피 이론에서 알려진 결과를 복원한다.
• 단순연결된 $ X $와 $ Y $에 대해 $ \pi_n(F(X,Y)) \cong H^{1-n}(L(X), L(Y)) $가 성립하며, 여기서 $ L(X) $와 $ L(Y) $는 퀼렌 모델이다. 이는 유한성 조건을 초월한 일반화를 시사한다.
• $ H^{*}_{AQ}(A^{*}(Y), A^{*}(X)) $는 $ A^{*}(Y) $ 위의 유리수 공간과 dga 사이의 반동치를 통해 $ F(X,Y) $의 호모토피 군을 계산한다.