[논문 리뷰] Anisotropic mesh adaptation in Firedrake with PETSc DMPlex

Nicolas Barral, Matthew G. Knepley외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 31.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 PETSc DMPlex와 Pragmatic 라이브러리를 사용하여 Firedrake 내에서 비등방성 메시 적응을 통합한 프레임워크를 제시한다. 이는 수치적 확산을 줄이고 효율적이고 자동화된 시간에 의존하는 PDE 해법을 가능하게 한다. 3D 이송 문제에서 25개의 시간 하부구간 동안 단지 50개의 적응 메시만을 사용하여 높은 정확도를 달성하였으며, 단일 코어에서의 순차적 런타임은 32시간이었다.

ABSTRACT

Despite decades of research in this area, mesh adaptation capabilities are still rarely found in numerical simulation software. We postulate that the primary reason for this is lack of usability. Integrating mesh adaptation into existing software is difficult as non-trivial operators, such as error metrics and interpolation operators, are required, and integrating available adaptive remeshers is not straightforward. Our approach presented here is to first integrate Pragmatic, an anisotropic mesh adaptation library, into DMPlex, a PETSc object that manages unstructured meshes and their interactions with PETSc's solvers and I/O routines. As PETSc is already widely used, this will make anisotropic mesh adaptation available to a much larger community. As a demonstration of this we describe the integration of anisotropic mesh adaptation into Firedrake, an automated Finite Element based system for the portable solution of partial differential equations which already uses PETSc solvers and I/O via DMPlex. We present a proof of concept of this integration with a three-dimensional advection test case.

연구 동기 및 목표

• 기존 PDE 해법기에서 비등방성 메시 적응의 사용성과 통합 부족 문제를 해결함으로써 광범위한 도입을 저해하는 요소를 제거한다.
• PETSc DMPlex의 메시 관리 기능을 활용하여 Firedrake와 같은 고수준 유한요소 프레임워크에 메시 적응을 원활하게 통합할 수 있도록 한다.
• 오차 기반 메트릭 계산, 메시 생성, 해 전이를 포함한 전이적 비등방성 메시 적응을 위한 작동 가능한 파이프라인을 시연한다.
• 향후 고차 유한요소 및 병렬 실행을 지원하기 위한 Firedrake 내에서 메시 적응의 완전 자동화를 위한 기반을 마련한다.

제안 방법

• 이 방법은 시뮬레이션을 25개의 시간 하부구간으로 나누고, 각 하부구간에서 해의 헤시안을 통해 오차 메트릭을 계산하는 전역 고정점 적응 알고리즘을 사용한다.
• 해의 헤시안에서 유도된 메트릭 필드를 정규화하여, Pragmatic 라이브러리를 통해 비등방성 메시 적응을 이끌어낸다.
• DMPlex는 비정규 메시 표현을 관리하고 PETSc 해법기 및 I/O와의 원활한 인터페이스를 제공하며, Pragmatic는 국소 메시 최적화를 위해 정밀화, 희소화, 교환, 스무딩을 수행한다.
• 해 전이는 Firedrake의 내장된 라그랑주 $P^1$ 유한요소 보간을 사용한 점 평가 및 선형 보간을 통해 수행된다.
• 전체 워크플로우는 Firedrake에서 조율되며, 변분 형식을 효율적인 병렬 코드로 컴iles하고 PETSc를 통해 해 및 메시 관리를 수행한다.
• 이송 지배 문제에서 안정성과 정확도를 유지하기 위해 크랭크-니콜슨 시간 이산화와 SUPG 정규화를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고수준 유한요소 프레임워크인 Firedrake에 비등방성 메시 적응이 효과적이고 투명하게 통합될 수 있는가?
• RQ2 오차 메트릭 계산, 메시 적응, 해 전이의 복잡한 파이프라인을 자동화하고 확장성 있게 만들 수 있는가?
• RQ3 DMPlex, Pragmatic, Firedrake의 조합이 도전적인 3D 전이 이송 문제에서 정확하고 낮은 확산 해를 달성할 수 있는가?
• RQ4 이러한 메시 적응 파이프라인의 계산 비용과 순차 실행 시 확장성은 어떠한가?

주요 결과

• 이 프레임워크는 3D 이송 문제에서 25개의 시간 하부구간 동안 단지 50개의 적응 메시만을 사용하여 전이 PDE에 대한 완전한 비등방성 메시 적응 파이프라인을 성공적으로 구현하였다.
• 이sovolumetric 시각화를 통해 이동 전면이 날카롭게 해상도가 유지되고 수치적 확산이 최소화된 것으로 확인되었으며, 이는 해의 정확도를 뒷받침한다.
• 단일 코어에서 32시간 내에 시뮬레이션이 완료되어, 현재 병렬화가 완전히 이루어지지 않았음에도 불구하고 이 방법의 효율성을 입증하였다.
• 메시 적응 과정에서 유동 방향에 따라 정렬된 띠 모양의 비등방성 요소가 생성되어 효과적인 메트릭 기반 정밀화가 이루어졌음을 나타낸다.
• Pragmatic을 DMPlex에 통합함으로써 메트릭 필드에서 한 번의 호출만으로 메시 적응을 수행할 수 있게 되어 PETSc 사용자에게 워크플로우를 크게 단순화시켰다.
• 이 방법은 향후 작업에서 Supermesh 라이브러리를 사용해 개선된 해 전이를 위해 고차 유한요소로 확장 가능하며, 계획되어 있다.