[논문 리뷰] Anisotropy-based optimal filtering in linear discrete time invariant systems

Igor G. Vladimirov|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 09.

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks참고 문헌 5인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 선형 이산 시간 불변 시스템을 위한 a-이방향 최적 필터링 프레임워크를 제안한다. 여기서 추정기는 간섭의 평균 이방향이 유계일 조건 하에서 최악의 오차 대 잡음 RMS 비율을 최소화하는 추정기이다. 이 해법은 칼만 필터의 구조를 유지하지만, 연관된 대수 Riccati 방정식과 행렬식 제약 조건을 풀어야 하며, a=0일 때는 표준 칼만 필터로 축소되고, a→∞일 때는 H∞ 최적 추정기로 수렴한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with a problem of robust filtering for a finite-dimensional linear discrete time invariant system with two output signals, one of which is directly observed while the other has to be estimated. The system is assumed to be driven by a random disturbance produced from the Gaussian white noise sequence by an unknown shaping filter. The worst-case performance of an estimator is quantified by the maximum ratio of the root-mean-square (RMS) value of the estimation error to that of the disturbance over stationary Gaussian disturbances whose mean anisotropy is bounded from above by a given parameter $a \ge 0$. The mean anisotropy is a combined entropy theoretic measure of temporal colouredness and spatial "nonroundness" of a signal. We construct an $a$-anisotropic estimator which minimizes the worst-case error-to-noise RMS ratio. The estimator retains the general structure of the Kalman filter, though with modified state-space matrices. Computing the latter is reduced to solving a set of two coupled algebraic Riccati equations and an equation involving the determinant of a matrix. In two limiting cases, where $a = 0$ or $a o +\infty$, the $a$-anisotropic estimator leads to the standard steady-state Kalman filter or the $H_{\infty}$-optimal estimator, respectively.

연구 동기 및 목표

• 왜곡의 스펙트럼 특성에 대한 불확실성이 존재하는 선형 이산 시간 불변 시스템을 위한 강건한 필터링 프레임워크를 개발한다.
• 정상 가우시안 왜곡의 평균 이방향을 유계로 제한하는 a-이방향 노름을 사용하여 최악의 추정 오차 성능을 정량화한다.
• 이 방향성 제약 조건 하에서 최악의 오차 대 잡음 RMS 비율을 최소화하는 최적 추정기를 유도한다.
• 제안된 a-이방향 추정기와 기존 필터링 철학, 특히 칼만 필터링과 H∞ 필터링 간의 관계를 극한 경우에서 규명한다.
• 실제 구현을 위한 계산 프레임워크를 제공한다. 이는 연관된 대수 Riccati 방정식과 행렬식 방정식 기반이다.

제안 방법

• 왜곡의 평균 이방향이 매개변수 a ≥ 0로 유계일 조건 하에서, 필터링 문제를 확률적 최소최대 최적화 문제로 공식화한다.
• a-이방향 노름을 정의한다. 이는 평균 이방향 ≤ a를 만족하는 모든 정상 가우시안 왜곡에 대해 오차 대 잡음 RMS 비율의 최대값으로 정의된다.
• 최적 추정기의 구조를 상태공간 필터로 유도하며, 칼만 필터와 유사하지만 갱신된 역학을 갖는 수정된 이득 행렬을 사용한다.
• 최적 이득 계산을 두 개의 연관된 이산시간 대수 Riccati 방정식(DARE)과 행렬식 방정식으로 환원한다.
• DARE 해의 매개변수에 대한 부드러운 의존성과 행렬 벡터화 기법을 활용하여 수치적 구현을 위한 호모토피 알고리즘을 제안한다.
• 최적 추정기가 최소최대 문제에서 안장점 조건을 만족함을 증명하여, 최악의 이방향 왜곡 하에서도 강건함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜곡의 스펙트럼 특성이 불확실할 경우, 선형 이산 시간 불변 추정기의 최악의 성능을 어떻게 정량화할 수 있는가?
• RQ2 유계 평균 이방향 제약 조건 하에서 최대 오차 대 잡음 RMS 비율을 최소화하는 최적 추정기의 구조는 어떠한가?
• RQ3 극한 경우(a=0 및 a→∞)에서 a-이방향 추정기는 표준 칼만 필터와 H∞ 최적 추정기와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 a-이방향 추정기의 최적 상태공간 행렬(이득)을 지배하는 방정식 시스템은 무엇인가?
• RQ5 비선형 방정식 시스템을 효율적이고 안정적으로 풀 수 있는 수치 알고리즘을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• a-이방향 최적 추정기는 칼만 필터의 일반적 구조를 유지하지만, 최소최대 최적화에서 유도된 수정된 상태공간 행렬을 사용한다.
• 최적 이득 행렬은 두 개의 연관된 이산시간 대수 Riccati 방정식과 행렬식 제약 조건 방정식을 풀어 얻는다.
• a=0일 경우, a-이방향 추정기는 표준 정 steady-state 칼만 필터로 축소되며, 이는 등방향 전력의 백색 가우시안 노이즈에 해당한다.
• a→∞일 경우, 추정기는 H∞ 최적 추정기로 수렴하며, 이는 모든 유계 에너지 왜곡에 대해 최악의 이득을 최소화한다.
• 오차 연산자의 a-이방향 노름은 연관된 Riccati 방정식 해의 최대 고유값의 제곱근으로 주어진다.
• 호모토피 알고리즘을 사용하여 방정식 시스템을 수치적으로 풀 수 있으며, 이는 DARE 해의 매개변수에 대한 부드러운 의존성과 행렬 벡터화 기법을 활용한다.