[논문 리뷰] Anomalies in (2+1)D fermionic topological phases and (3+1)D path integral state sums for fermionic SPTs

Srivatsa Tata, Ryohei Kobayashi외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 29.

Topological Materials and Phenomena인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Z2 3형 게이지 장을 갖는 보존성 그림자 이론에서 페르미온 응집을 통해 (3+1)차원 페르미온 대칭 보호 topological phase(FSPTs)에 대한 조합적 경로적분 상태합을 구축한다. 일반화된 스핀 구조 위에서의 그라스만 적분을 통해 고차형 이상을 상쇄시킴으로써, (2+1)차원 페르미온 대칭적 topological order의 이상을 계산하고, 시간역행 대칭을 갖는 topological superconductor의 Z16 이상 불변량을 재현하며, 4차원 다양체에서의 고유한 미세구조를 구분한다.

ABSTRACT

Given a (2+1)D fermionic topological order and a symmetry fractionalization class for a global symmetry group $G$, we show how to construct a (3+1)D topologically invariant path integral for a fermionic $G$ symmetry-protected topological state ($G$-FSPT) in terms of an exact combinatorial state sum. This provides a general way to compute anomalies in (2+1)D fermionic symmetry-enriched topological states of matter. Equivalently, our construction provides an exact (3+1)D combinatorial state sum for a path integral of any FSPT that admits a symmetry-preserving gapped boundary, including the (3+1)D topological insulators and superconductors in class AII, AIII, DIII, and CII that arise in the free fermion classification. Our construction uses the fermionic topological order (characterized by a super-modular tensor category) and symmetry fractionalization data to define a (3+1)D path integral for a bosonic theory that hosts a non-trivial emergent fermionic particle, and then condenses the fermion by summing over closed 3-form $\mathbb{Z}_2$ background gauge fields. This procedure involves a number of non-trivial higher-form anomalies associated with Fermi statistics and fractional quantum numbers that need to be appropriately canceled off with a Grassmann integral that depends on a generalized spin structure. We show how our construction reproduces the $\mathbb{Z}_{16}$ anomaly indicator for time-reversal symmetric topological superconductors with ${\bf T}^2 = (-1)^F$. Mathematically, with standard technical assumptions, this implies that our construction gives a combinatorial state sum on a triangulated 4-manifold that can distinguish all $\mathbb{Z}_{16}$ $\mathrm{Pin}^+$ smooth bordism classes. As such, it contains the topological information encoded in the eta invariant of the pin$^+$ Dirac operator, thus giving an example of a state sum TQFT that can distinguish exotic smooth structure.

연구 동기 및 목표

• G를 대칭으로 갖는 (3+1)차원 페르미온 대칭 보호 topological phase(FSPTs)에 대한 일반적이고 정확한 조합적 상태합 구축을 제공하는 것.
• 상태합으로 올리기 전에 (2+1)차원 페르미온 topological order의 이상을 계산함으로써 대칭 분획화를 수반한 이상을 계산하는 것.
• 자유 페르미온 FSPTs(예: AII, AIII, DIII, CII 계열)와 T2 = (−1)F를 갖는 topological superconductor를 하나의 상태합 프레임워크로 통합적으로 묘사하는 것.
• pin+ 디랙 연산자의 에타 불변량과 조합적 상태합 사이의 연결을 확립하여, 4차원 다양체에서의 고유한 미세구조를 탐지할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 상태 순서를 위한 초모듈라 텐서 카테고리와 대칭 분획화 자료를 조합하여, 잠재적 페르미온을 갖는 보존 이론의 (3+1)차원 경로적분을 구성한다.
• 폐쇄된 Z2 3형 게이지 장에 대한 합을 취하여 페르미온 응집을 구현함으로써, 전역 대칭 G를 갖는 페르미온 이론로 투영한다.
• 일반화된 스핀 구조(예: pin+ 구조)에 의존하는 그라스만 적분을 통해 고차형 이상(Sq2, w2, w21, 혼합 이상 등)을 상쇄시킨다.
• 페르미온 고리의 감도 수를 통해 그라스만 적분을 정의하고, 삼각형 분할 다각형에서의 그라스만 변수와 대수적으로 연결한다.
• 일관된 분할 및 게이지 장 구조를 갖는 삼각형 분할의 정밀화에 대해 상태합의 위상적 불변성을 증명함으로써, 패치너 이동에 대한 불변성을 확보한다.
• RP4의 밀도 셀룰레이션에서의 명시적 계산을 통해, 시간역행 대칭을 갖는 topological superconductor의 알려진 Z16 이상 불변량을 재현함으로써 구성의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전역 대칭 G를 갖는 (3+1)차원 조합적 상태합을 어떻게 구성하여 페르미온 SPT 단계를 묘사할 수 있는가?
• RQ2 페르미 통계와 분획 양자수와 관련된 고차형 이상(Sq2, w2, w21 등)이 경로적분에 어떻게 영향을 주며, 어떻게 상쇄시킬 수 있는가?
• RQ3 이 상태합 구성이 T2 = (−1)F를 갖는 시간역행 대칭을 갖는 topological superconductor의 Z16 이상을 탐지할 수 있는가?
• RQ4 이 상태합은 Pin+ 경계 이론 클래스를 구분하고 4차원 다양체에서의 고유한 미세구조를 탐지할 수 있는가?
• RQ5 삼각형 분할 설정에서 Z2 3형 게이지 장과 그라스만 적분을 통해 페르미온 응집 절차는 어떻게 구현되는가?

주요 결과

• 이 상태합 구성은 대칭을 유지하는 고립 경계를 갖는 모든 페르미온 SPT에 대해 위상적 불변이며 조합적인 경로적분을 제공한다. 이는 자유 페르미온 계열 AII, AIII, DIII, CII를 포함한다.
• RP4의 밀도 셀룰레이션에서의 명시적 계산을 통해, 시간역행 대칭을 갖는 topological superconductor의 Z16 이상 불변량을 정확히 재현한다.
• 이 상태합은 4차원 미세구조를 갖는 스무 정점의 모든 16개의 Pin+ 경계 이론 클래스를 구분하며, 이는 pin+ 디랙 연산자의 에타 불변량을 포함하고 고유한 미세구조를 탐지한다.
• 이상 상쇄에 사용된 그라스만 적분은 옹호적이고 비옹호적 다양체에서 감도 수 정의와 동치이며, 기하적 구조 간의 일관성을 보장한다.
• 이 상태합은 역행 가능하고 경계 불변이며, 에타 불변량과 동일한 경계 불변량을 통해 페르미온 SPT 단계를 분류하는 TQFT로서의 역할을 확인한다.
• 이 방법은 SO(3)3 등 비아벨 anyon 이론으로 일반화되며, 동일한 프레임워크를 통해 이러한 시스템의 이상을 성공적으로 계산한다.