[논문 리뷰] Anomalous Scaling of Offspring and Generation Numbers in Branching Processes

А. И. Саичев, Agnès Helmstetter외 1명|arXiv (Cornell University)|2003. 05. 01.

Complex Systems and Time Series Analysis인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 지진 후진계열과 관련된 힘의 법칙 분포를 가진 비율에 따라 변동성이 큰 확률적 분기 과정에서 총 후손 수와 세대 수의 통계적 척도를 연구한다. 지수 γ < 2인 힘의 법칙 분포를 가진 비율에 대해, 무거운 尾 꼬리 분포를 도출한다: 총 후손 수에 대해 p_r(r) ~ 1/r^(1+1/γ), 총 세대 수에 대해 p_g(g) ~ 1/g^(1+1/(γ−1))이며, 수치 시뮬레이션으로 검증된다.

ABSTRACT

We consider a general stochastic branching process, which is relevant to earthquakes as well as to many other systems, and we study the distributions of the total number of offsprings (direct and indirect aftershocks in seismicity) and of the total number of generations before extinction. We apply our results to a branching model of triggered seismicity, the ETAS (epidemic-type aftershock sequence) model. The ETAS model assumes that each earthquake can trigger other earthquakes (``aftershocks''). An aftershock sequence results in this model from the cascade of aftershocks of each past earthquake. Due to the large fluctuations of the number of aftershocks triggered directly by any earthquake (``fertility''), there is a large variability of the total number of aftershocks from one sequence to another, for the same mainshock magnitude. We study the regime where the distribution of fertilities mu is characterized by a power law ~1/\mu^(1+gamma). For earthquakes, we expect such a power-law distribution of fertilities with gamma = b/alpha based on the Gutenberg-Richter magnitude distribution ~10^(-bm) and on the increase ~10^(alpha m) of the number of aftershocks with the mainshock magnitude m. We derive the asymptotic distributions p_r(r) and p_g(g) of the total number r of offsprings and of the total number g of generations until extinction following a mainshock. In the regime \gamma<2 relevant for earhquakes, for which the distribution of fertilities has an infinite variance, we find p_r(r)~1/r^(1+1/gamma) and p_g(g)~1/g^(1+1/(gamma -1)). These predictions are checked by numerical simulations.

연구 동기 및 목표

• 높은 변동성을 보이는 촉발(비율)을 가진 확률적 분기 과정에서 총 후손 수와 세대 수의 통계적 행동을 이해하기 위해.
• 각 사건이 연쇄적으로 다른 사건을 유도할 수 있는 ETAS 모델을 사용하여 지진 후진계열을 모델링하기 위해.
• 지수 γ를 가진 힘의 법칙 분포를 가진 비율이 총 후손 수와 멸종까지의 총 세대 수의 척도에 미치는 영향을 조사하기 위해.
• 비율 분포의 지수 γ < 2 인 영역에서 총 후손 수 r과 총 세대 수 g에 대한 渐近적 분포를 유도하기 위해.
• 분기 과정의 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 예측을 검증하기 위해.

제안 방법

• 각 개체(지진)가 무작위 수의 후손(후진계열)을 생성하는 일반적인 확률적 분기 과정을 수식화하며, 비율 μ ~ 1/μ^(1+γ)로 힘의 법칙 분포를 가진다.
• 메인쇼크가 후진계열을 유도하고, 후진계열이 다시 다른 사건을 유도할 수 있는 ETAS 프레임워크에 모델을 적용한다.
• 극단가 이론과 분기 과정 이론을 활용하여 총 후손 수 r과 총 세대 수 g의 渐近적 분포를 유도한다.
• γ < 2 조건 하에서 총 후손 수에 대한 척도 행동 p_r(r) ~ 1/r^(1+1/γ)와 총 세대 수에 대한 척도 행동 p_g(g) ~ 1/g^(1+1/(γ−1))를 유도한다.
• 예측된 분포의 힘의 법칙 척도가 잘 유지되는지 확인하기 위해 분기 과정의 수치 시뮬레이션을 수행한다.
• 모델의 매개변수를 지진학적 관측치와 연결한다: γ = b/α, 여기서 b는 구겐베르크-리히터 b-값이며 α는 후진계열 생산성의 크기 의존성 지수이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비율 분포가 힘의 법칙을 따르며 분산이 무한대일 경우, 분기 과정에서 총 후손 수의 분포는 어떻게 척도가 되는가?
• RQ2 이러한 분기 과정에서 멸종까지의 총 세대 수의 점근적 분포는 무엇인가?
• RQ3 후손 수 및 세대 수 분포의 척도 지수는 비율 분포의 힘의 법칙 지수 γ에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 이론적 예측이 γ < 2 영역에서 수치 시뮬레이션과 얼마나 일치하는가?
• RQ5 동일한 메인쇼크 크기에도 불구하고 다양한 지진 활동 시퀀스에서 후진계열 수의 큰 변동성을 모델이 어떻게 설명할 수 있는가?

주요 결과

• γ < 2 인 경우, 총 후손 수 r의 분포는 무거운 꼬리를 가진다: p_r(r) ~ 1/r^(1+1/γ), 이는 후진계열 수의 극도로 큰 변동성을 시사한다.
• 총 세대 수 g의 분포는 p_g(g) ~ 1/g^(1+1/(γ−1))로 척도가 되며, 이는 비율 분포의 꼬리가 두꺼워지면서 발생하는 이례적 척도를 반영한다.
• 유도된 척도 법칙은 수치 시뮬레이션을 통해 확인되었으며, 비율 분산이 무한대인 영역에서 이론적 예측을 지지한다.
• 총 후손 수의 척도 지수는 γ에 대해 역수 관계를 가지며, γ가 0에 가까워질수록 더 두꺼운 꼬리가 나타난다.
• 세대 수 분포는 후손 수 분포보다 더 급격한 힘의 법칙을 보이며, 드문 장기 지속 시퀀스의 천천가 감쇠를 반영한다.
• 모델은 지진학적 매개변수를 연결한다: γ = b/α, 여기서 b는 구겐베르크-리히터 b-값이며 α는 후진계열 생산성의 크기 의존성 지수로, 실증적 검증이 가능하다.