[논문 리뷰] Anomaly Inflow and the $\eta$-Invariant

Edward Witten, Kazuya Yonekura|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 18.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 62인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 $d+1$ 차원에서 미분형 Chern-Simons 항을 Atiyah-Patodi-Singer $η$-항으로 대체함으로써 페르미온 이상 흡수의 비섭동적 수식을 수립한다. 이는 섭동적 및 전역 이상을 정확하고 수학적으로 엄밀하게 기술한다. 주요 결과는 질량이 있는 배경 페르미온을 적분하여 제거한 후 도출된 일반적인 이상 흡수 공식으로, Dai-Freed 정리와 코보르드 이론의 불변성에 의해 검증된다.

ABSTRACT

Perturbative fermion anomalies in spacetime dimension $d$ have a well-known relation to Chern-Simons functions in dimension $D=d+1$. This relationship is manifested in a beautiful way in "anomaly inflow" from the bulk of a system to its boundary. Along with perturbative anomalies, fermions also have global or nonperturbative anomalies, which can be incorporated by using the $\\eta$-invariant of Atiyah, Patodi, and Singer instead of the Chern-Simons function. Here we give a nonperturbative description of anomaly inflow, involving the $\\eta$-invariant. This formula has been expected in the past based on the Dai-Freed theorem, but has not been fully justified. It leads to a general description of perturbative and nonperturbative fermion anomalies in $d$ dimensions in terms of an $\\eta$-invariant in $D$ dimensions. This $\\eta$-invariant is a cobordism invariant whenever perturbative anomalies cancel.

연구 동기 및 목표

• 섭동적 및 전역 페르미온 이상을 모두 수용하는 비섭동적 이상 흡수의 일반화를 제공하기 위해.
• Atiyah-Patodi-Singer (APS) 경계 조건을 사용한 $η$-항의 이상 흡수에서의 사용을 정당화하여, 섭동형 Chern-Simons 항을 넘어서는 것을 목적으로 한다.
• 질량이 있는 배경 페르미온을 $d+1$ 차원의 고립된 시스템에서 적분하여 제거함으로써 이상 흡수의 정확한 공식을 수립하기 위해.
• Dai-Freed 정리가 이 비섭동적 이상 흡수 구성의 일관된 수학적 기반을 제공함을 보여주기 위해.
• $d=1,2,3,4$ 차원에서의 전역 이상을 분석하고, 토폴로지적 절연체 및 표준모형에의 응용을 포함하기 위해.

제안 방법

• 지역 경계 조건을 가진 $d+1$ 차원에서 질량이 있는 디랙 페르미온의 경로적분을 통해 이상 흡수를 수립하고, 이로 인해 $η$-항을 포함하는 효과적 작용이 유도됨을 보임.
• Dai-Freed 정리를 사용하여 비섭동적 경로적분 위상과 APS 경계 조건을 가진 디랙 연산자의 $η$-항을 연결함.
• 질량이 있는 배경 페르미온을 적분하여 제거함으로써 일반적인 이상 흡수 공식 (식 2.52)을 유도하고, 이 공식이 섭동 이론에서는 Chern-Simons로 줄어들지만 비섭동 보정항을 포함함을 보임.
• 코보르드 불변성과 잘라내고 붙이기 (cut-and-paste) 추론을 적용하여 전역 이상 조건을 $S^4$ 및 $S^4 \times S^1$ 등 저차원 다양체에서 알려진 불변량으로 환원함.
• $D=5$ 차원에서의 mod 2 지표가 페시벨 표현의 이상을 캡처하는 위상수학적 불변량으로서의 역할을 분석함. 특히 $\mathrm{SU}(2)$-축소된 게이지 군에서 중요한 역할을 함.
• 장애 이론과 호모토피 군 분석($\pi_i(G)$ for $i \leq 4$)을 사용하여, 임의의 연결되고 단순연결된 게이지 군이 $\mathrm{SU}(2)$로 위상적으로 축소될 수 있음을 보이며, 이상은 디랙 연산자의 mod 2 지표에 의해 완전히 기술됨을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비섭동 이론을 초월하여 비섭동(전역) 이상까지 포함하는 이상 흡수를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 왜 APS 경계 조건을 가진 $η$-항이 이상 흡수에서 Chern-Simons 이론의 비섭동적 일반화로 올바른가?
• RQ3 Dai-Freed 정리를 사용하여 임의의 상대론적 페르미온 시스템에서 이상 흡수의 정확하고 비섭동적인 공식을 유도할 수 있는가?
• RQ4 코보르드 불변성은 4차원 게이지 이론에서 전역 이상을 분류하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 4차원 게이지 이론에서의 전역 이상은 왜 $S^4$ 또는 $S^4 \times S^1$ 상의 불변량으로 환원되며, 이 맥락에서 mod 2 지표의 의미는 무엇인가?

주요 결과

• APS 경계 조건을 가진 $d+1$ 차원에서 질량이 있는 디랙 페르미온을 적분하여 제거함으로써 비섭동 이상 흡수 공식 (식 2.52)을 유도하였고, 이는 효과적 작용이 $η$-항에 비례함을 보였다.
• APS 경계 조건을 가진 $η$-항은 섭동 이상(Chern-Simons를 통해)과 비섭동 이상을 모두 정확히 기록하며, Dai-Freed 정리를 이상 흡수로 일반화함.
• $d=4$ 차원 게이지 이론에서 연결되고 단순연결된 게이지 군을 가진 경우, 전역 이상은 $D=5$에서 디랙 연산자의 mod 2 지표에 의해 완전히 결정되며, 이는 $S^4$에서의 영모드 수가 짝수일 경우에만 0이 된다.
• 코보르드 불변성과 잘라내고 붙이기 추론을 통해 5차원 다양체 $Y_3$에서의 이상 조건 $\Upsilon_{Y_3} = 1$이 $Y_2 = S^4 \times S^1$에서의 조건과 동치임을 보였으며, 이는 $S^4$ 기반 불변량이 이상을 완전히 기록함을 의미한다.
• 임의의 $G$-bundle의 구조군은 장애 이론과 $i \leq 4$에 대한 호모토피 군 $\pi_i(G)$를 사용하여 $\mathrm{SU}(2)$로 위상적으로 축소될 수 있으며, 이는 이상이 $\mathrm{SU}(2)$ 표현에 의해 완전히 기록됨을 증명한다.
• $G = \mathrm{Sp}(2k)$인 경우, mod 2 코보르드 불변량은 기본 표현에서 디랙 연산자의 mod 2 지표이며, $Y_2 = S^4 \times S^1$에서 라몬 스핀 구조를 가질 경우 비영이 되며, 이는 비자명한 전역 이상 존재를 확인한다.