[논문 리뷰] Anomaly Inflow and the $η$-Invariant

Edward Witten, Kazuya Yonekura|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 19.

Particle physics theoretical and experimental studies인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 APS 경계 조건 하에서 페르미온 이상 흡수를 비임계적으로 기술하기 위해 페르트루베이티브 초전도체-시몬스 항항을 아티야-파로디-사이러스 η-불변량으로 대체함으로써, 임의의 시공간 차원에서 페르티브 및 글로벌 이상을 정확하고 수학적으로 엄밀하게 기술하는 비임계적 수식을 수립한다. 핵심 결과는 η-불변량을 통해 페르티브 및 글로벌 이상을 통합하는 일반적인 이상 흡수 공식이며, 이는 d=1,2,3,4에서의 명시적 예제와 코보르디즘 불변성에 의해 검증된다.

ABSTRACT

Perturbative fermion anomalies in spacetime dimension $d$ have a well-known relation to Chern-Simons functions in dimension $D=d+1$. This relationship is manifested in a beautiful way in "anomaly inflow" from the bulk of a system to its boundary. Along with perturbative anomalies, fermions also have global or nonperturbative anomalies, which can be incorporated by using the $η$-invariant of Atiyah, Patodi, and Singer instead of the Chern-Simons function. Here we give a nonperturbative description of anomaly inflow, involving the $η$-invariant. This formula has been expected in the past based on the Dai-Freed theorem, but has not been fully justified. It leads to a general description of perturbative and nonperturbative fermion anomalies in $d$ dimensions in terms of an $η$-invariant in $D$ dimensions. This $η$-invariant is a cobordism invariant whenever perturbative anomalies cancel.

연구 동기 및 목표

• 페르티브 및 글로벌 페르미온 이상을 모두 포함하는 비임계적 이상 흡수 일반화를 제공하는 것.
• 이상 흡수에서 초전도체-시몬스 이론의 비임계적 확장으로서 아티야-파로디-사이러스 경계 조건을 갖는 η-불변량의 사용을 정당화하는 것.
• 다이-프리드 정리가 이질적이고 이상이 없는 부스러기 시스템과 이상이 있는 경계 페르미온을 갖는 시스템에서 이상 흡수에 대한 엄밀한 기초를 제공함을 보여주는 것.
• η-불변량 프레임워크를 사용하여 토폴로지적 절연체와 표준 모형과 같은 특정 물리계에서 글로벌 이상을 분석하는 것.
• 단순 연결된 게이지 군을 갖는 d=4에서의 글로벌 이상이 완전히 D=5에서의 SU(2) 부분군과 mod 2 지표에 의해 기술됨을 보여주는 것.

제안 방법

• APS 경계 조건을 갖는 D=d+1 차원에서 질량이 있는 디랙 페르미온의 경로 적분으로 이상 흡수를 기술하여, 경계에서 η-불변량 효과적 작용을 도출한다.
• 다이-프리드 정리를 사용하여 η-불변량을 카이랄 페르미온의 분할 함수와 연결함으로써 글로벌 이상과의 일관성을 확보한다.
• 코보르디즘 불변성과 잘라내고 붙이기 논증을 적용하여 일반 게이지 군을 SU(2)로 줄이며, 글로벌 이상이 다섯 차원에서의 mod 2 지표에 의해 기록됨을 보여준다.
• D=d+1에서의 지수화된 η-불변량을 통해 이상의 구조를 분석하여, 이전 결과가 짝수 d 또는 온도가 있는 다양체에 국한되었던 것을 일반화한다.
• 3+1D 토폴로지적 절연체와 표준 모형을 포함한 d=1,2,3,4에서의 명시적 예제를 구성하여 비임계 이상 공식을 검증한다.
• 장애 이론과 호모토피 군 분석(πi(G) for i≤4)을 사용하여 임의의 연결되고 단순 연결된 게이지 군이 SU(2)로 줄어들며, 글로벌 이상 분류가 단순화됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비임계 이론으로 확장하여 페르티브 이론을 넘어서 글로벌 이상을 포함하는 이상 흡수를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 왜 아티야-파로디-사이러스 경계 조건을 갖는 η-불변량이 이상 흡수에서 초전도체-시몬스 이론의 올바른 비임계적 확장인가?
• RQ3 다이-프리드 정리를 사용하여 임의의 차원에서 이상 흡수 진폭에 대한 정확하고 비임계적 공식을 유도할 수 있는가?
• RQ4 단순 연결된 게이지 군을 갖는 d=4에서의 글로벌 이상은 D=5에서의 mod 2 지표로 완전히 축약되는가, 그리고 만약 그렇다면 어떤 조건에서인가?
• RQ5 η-불변량 수식은 토폴로지적 절연체와 표준 모형과 같은 양자장론 및 응집물질 물리계에서 페르티브 및 글로벌 이상을 어떻게 통합하는가?

주요 결과

• 비임계 이상 흡수 공식은 APS 경계 조건을 갖는 디랙 연산자의 지수화된 η-불변량으로 주어지며, 이는 글로벌 이상을 포함하는 초전도체-시몬스 작용의 일반화이다.
• 다이-프리드 정리는 η-불변량이 이상 흡수에서 초전도체-시몬스 작용의 올바른 비임계적 일반화임을 정당화하는 엄밀한 수학적 기초를 제공한다.
• d=4에서 연결되고 단순 연결된 게이지 군에 대한 글로벌 이상은 D=5에서의 디랙 연산자의 mod 2 지표에 의해 완전히 기록되며, 이는 S⁴에서의 영모드 수가 짝수이면 0이 된다.
• π₄(G) = ℤ₂인 게이지 군 G(예: Sp(2k))의 경우, 글로벌 이상은 Ramond 경계 조건을 갖는 S⁴×S¹에서의 mod 2 지표로 감지되며, 이는 η-불변량이 이상 감지에 핵심적 역할을 함을 확인한다.
• 코보르디즘 불변성과 잘라내고 붙이기 논증을 통해 임의의 연결되고 단순 연결된 G의 이상 구조는 SU(2)의 그것과 동치임을 보여주며, 글로벌 이상의 분류를 SU(2)의 경우로 축소한다.
• 분석 결과, 3+1D 토폴로지적 절연체에서의 전자기 θ 각도는 η-불변량에 의해 기록되며, 이는 이 시스템에서의 이상을 비임계적으로 기술함을 제공한다.