[논문 리뷰] Anosov Endomorphisms on the 2-torus: Regularity of foliations and rigidity

Marisa Cantarino, Régis Varão|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 04.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 25인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 2차원 토러스 위의 Anosov 엔도모르피즘 간의 매끄러운 동형성에 대한 충분조건을 설정한다. 이는 안정 및 불안정 분할의 정규성과 리아풀로프 지수의 동치성을 연결함으로써 이루어진다. 균일한 유한 밀도(UBD) 성질과 밀도의 준보존 조건을 사용하여, 두 Ck (k ≥ 2) Anosov 엔도모르피즘 f, g가 항등사상과 호모토피인 맵 h에 의해 위상적으로 동형이면서 대응하는 주기점에서 리아풀로프 지수가 일치한다면, 그 동형성은 Ck임을 증명한다. 이는 특수한 Anosov 엔도모르피즘과 그 선형화에 대한 매끄러운 동형성의 완전한 특성화를 이끈다.

ABSTRACT

We provide sufficient conditions for smooth conjugacy between two Anosov endomorphisms on the 2-torus. From that, we also explore how the regularity of the stable and unstable foliations implies smooth conjugacy inside a class of endomorphisms including, for instance, the ones with constant Jacobian. As a consequence, we have in this class a characterization of smooth conjugacy between special Anosov endomorphisms and their linearizations.

연구 동기 및 목표

• 비가역적인 Anosov 엔도모르피즘 간의 매끄러운 동형성에 대한 충분조건을 설정하는 것.
• 안정 및 불안정 분할의 정규성이 위상적 동형성의 매끄러움에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 역행렬이 존재하는 Anosov 미분법의 경우에 대한 강성 결과를 비가역 엔도모르피즘의 경우로 확장하는 것.
• 각 점에서 불안정 방향이 하나뿐인 특수한 Anosov 엔도모르피즘의 경우, 리아풀로프 지수 일치를 통해 매끄러운 동형성을 특성화하는 것.
• Micena와 Gu-Shi의 이전 결과를 일반화하기 위해, 일정 자코비안 조건보다 더 약한 기하학적 가정(UBD, 준보존)을 도입하는 것.

제안 방법

• Jean-Lin Journé의 정규성 보조정리를 적용하여, 동형성 맵 h의 Ck 정규성을 횡단 분할을 따라 전파하는 것.
• 균일한 유한 밀도(UBD) 성질을 사용하여, 반복 시 불안정 리브에 대한 측도의 왜곡을 제어하는 것.
• 밀도의 준보존 조건을 도입: 각 리브 W와 반복 k에 대해 유도된 측도의 비율이 상수 C로 균일하게 유계임.
• UBD와 준보존 조건이 측도의 균일한 동치성(mkx, Fk∗m0F−k(x) 등)을 유도하며, 이는 상수 C에 의존하는 유계성과 함께 성립함을 활용하는 것.
• Birkhoff의 시간 평균 정리와 리아풀로프 지수 정의를 사용하여, f의 불안정 지수와 그 선형화 A의 지수를 동치로 만드는 것.
• 만약 주기점에서 리아풀로프 지수가 일치하고 동형성이 항등사상과 호모토피라면, h는 Ck임을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 T2 위의 두 Anosov 엔도모르피즘 간 위상적 동형성이 매끄럽게 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 안정 및 불안정 분할의 정규성이 동형성 맵의 매끄러움에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 일정 자코비안 조건을 유지하면서도 매끄러운 동형성 강성 결과를 보존할 수 있는가?
• RQ4 밀도의 준보존 조건이 동형성의 정규성 확보에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 특수한 Anosov 엔도모르피즘의 경우, T2 위에서 매끄러운 동형성이 주기점에서 리아풀로프 지수가 일치하는 것과 동치인가?

주요 결과

• T2 위의 두 Ck (k ≥ 2) Anosov 엔도모르피즘 f와 g가 항등사상과 호모토피인 맵 h에 의해 위상적으로 동형이면서 대응하는 주기점에서 리아풀로프 지수가 일치한다면, h는 Ck이다.
• 각 점에서 불안정 방향이 하나뿐인 특수한 Anosov 엔도모르피즘의 경우, 선형화와의 매끄러운 동형성은 모든 주기점에서 불안정 리아풀로프 지수의 일치와 동치이다.
• UBD 성질과 밀도의 준보존 조건은 일정 자코비안보다 더 약한 기하학적 조건이지만, 리아풀로프 지수 일치와 함께 Ck 동형성을 유도한다.
• f와 g가 C∞이면, 비가역 설정임에도 불구하고 동형성 h는 C∞이다.
• 증명 과정에서 f의 불안정 리아풀로프 지수와 그 선형화 A의 지수가 같음을 보이며, 자코비안 보존 성질에 의해 안정 지수 역시 일치함을 보였다.
• 이 결과는 Micena와 Gu-Shi의 이전 작업을 일반화하며, T2 위 특수 Anosov 경우의 매끄러운 동형성에 대한 완전한 특성화를 제공한다.